Questão 3: Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} uma aplicação dada por T(x, y, z)=(x+y+z, 2 y+z, z).
(a) (1,0 ponto) Mostre que T é uma transformação linear.
(b) ( 0,5 pontos) Determine [T].
(c) ( 0,5 pontos) Determine o núcleo de T.
(d) (1,5 pontos) T é um isomorfismo? Se sim, determine T^{-1} e \left[T^{-1}\right].
Passo 1
O enunciado trata de uma aplicação T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 dada por
T(x,y,z) = (\,x+y+z,\;2y+z,\;z\,).
O conteúdo é Transformações Lineares. Vamos precisar mostrar (a) linearidade, (b) obter a matriz de T em relação à base canônica, (c) calcular \ker T, e (d) verificar se T é isomorfismo, achar T^{-1} e sua matriz.
Passo 2
Para mostrar que T é linear, verificamos aditividade e homogeneidade. Tomando (x_1,y_1,z_1) e (x_2,y_2,z_2) em \mathbb{R}^3 e \lambda\in\mathbb{R}:
(a) T é linear, pois preserva soma e multiplicação por escalar.
(b) [T]=\begin{pmatrix}1&1&1\\\ 0&2&1\\\ 0&0&1\end{pmatrix}.
(c) \ker T=\{(0,0,0)\}.
(d) T é isomorfismo.