Questão 3: Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} uma aplicação dada por T(x, y, z)=(x+y+z, 2 y+z, z).
(a) (1,0 ponto) Mostre que T é uma transformação linear.
(b) ( 0,5 pontos) Determine [T].
(c) ( 0,5 pontos) Determine o núcleo de T.
(d) (1,5 pontos) T é um isomorfismo? Se sim, determine T^{-1} e \left[T^{-1}\right].

Passo 1

O enunciado trata de uma aplicação T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 dada por
T(x,y,z) = (\,x+y+z,\;2y+z,\;z\,).
O conteúdo é Transformações Lineares. Vamos precisar mostrar (a) linearidade, (b) obter a matriz de T em relação à base canônica, (c) calcular \ker T, e (d) verificar se T é isomorfismo, achar T^{-1} e sua matriz.

Passo 2

Para mostrar que T é linear, verificamos aditividade e homogeneidade. Tomando (x_1,y_1,z_1) e (x_2,y_2,z_2) em \mathbb{R}^3 e \lambda\in\mathbb{R}:
T\bigl((x_1,y_1,z_1)+(x_2,y_2,z_2)\bigr) = T(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2)
= \bigl(x_1+x_2+y_1+y_2+z_1+z_2,\;2(y_1+y_2)+(z_1+z_2),\;z_1+z_2\bigr)
= (x_1+y_1+z_1,\;2y_1+z_1,\;z_1) + (x_2+y_2+z_2,\;2y_2+z_2,\;z_2) = T(x_1,y_1,z_1)+T(x_2,y_2,z_2).
T\bigl(\lambda(x,y,z)\bigr) = T(\lambda x,\lambda y,\lambda z) = (\lambda x+\lambda y+\lambda z,\;2\lambda y+\lambda z,\;\lambda z)
= \lambda(x+y+z,\;2y+z,\;z) = \lambda\,T(x,y,z).
Logo T é transformação linear.

Passo 3

A matriz de T na base canônica \{e_1,e_2,e_3\} tem colunas T(e_1),T(e_2),T(e_3). Calculamos
T(1,0,0)=(1,0,0),\; T(0,1,0)=(1,2,0),\; T(0,0,1)=(1,1,1).
Portanto
[T] = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 2 & 1\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Para o núcleo, resolvemos T(x,y,z)=(0,0,0)\), isto é \[\begin{cases} x+y+z=0,\\\\ 2y+z=0,\\\ z=0. \end{cases}
Da terceira equação z=0\]. Na segunda, \(2y+0=0 y=0. Na primeira, x+0+0=0 x=0. Logo
\ker T = \{(0,0,0)\}.

Passo 5

Como \ker T=\{0\} e o domínio e contradomínio têm mesma dimensão finita, T é isomorfismo. Para achar T^{-1}, seja
(u,v,w)=T(x,y,z)=(x+y+z,\;2y+z,\;z).
Da terceira componente segue z=w. Da segunda, 2y+w=v implica
y=\frac{v-w}{2}.
Da primeira, x+y+z=u implica
x = u - y - z = u - \frac{v-w}{2} - w = \frac{2u - (v-w) - 2w}{2} = \frac{2u - v - w}{2}.
Portanto
T^{-1}(u,v,w) = \Bigl(\tfrac{2u-v-w}{2},\;\tfrac{v-w}{2},\;w\Bigr).

Passo 6

As colunas de [T^{-1}] são T^{-1}(e_1),T^{-1}(e_2),T^{-1}(e_3):
T^{-1}(1,0,0)=\bigl(1,0,0\bigr),\; T^{-1}(0,1,0)=\Bigl(-\tfrac12,\tfrac12,0\Bigr),\; T^{-1}(0,0,1)=\Bigl(-\tfrac12,-\tfrac12,1\Bigr).
Assim
[T^{-1}] = \begin{pmatrix} 1 & -\tfrac12 & -\tfrac12\\\\ 0 & \tfrac12 & -\tfrac12\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Resposta

(a) T é linear, pois preserva soma e multiplicação por escalar.
(b) [T]=\begin{pmatrix}1&1&1\\\ 0&2&1\\\ 0&0&1\end{pmatrix}.
(c) \ker T=\{(0,0,0)\}.
(d) T é isomorfismo.
T^{-1}(u,v,w)=\Bigl(\tfrac{2u-v-w}{2},\;\tfrac{v-w}{2},\;w\Bigr), \quad [T^{-1}]=\begin{pmatrix} 1 & -\tfrac12 & -\tfrac12\\\\ 0 & \tfrac12 & -\tfrac12\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

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