Determine se o espaço solução do sistema A X=0 é uma reta pela origem, um plano pela origem ou somente a origem. Se for um plano, obtenha a equação desse plano; se for uma reta, obtenha equações paramétricas dessa reta.
A=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\\\ 2 & 5 & 3 \\\\ 1 & 0 & 8\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede o espaço solução (núcleo) do sistema homogêneo A X=0 onde
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\\\ 2 & 5 & 3\\\\ 1 & 0 & 8 \end{pmatrix}.
Em Álgebra Linear, o espaço solução de um sistema homogêneo tem dimensão igual a n-\rank(A), onde n é o número de colunas de A. Se \rank(A)=3 (número total de colunas), então a única solução é o vetor nulo.

Passo 2

Vamos verificar se \det(A)\neq0. Calculando pela expansão de Laplace na primeira linha:
\det(A) =1\cdot\det\begin{pmatrix}5 & 3\\\ 0 & 8\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 3\\\ 1 & 8\end{pmatrix} +3\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 5\\\ 1 & 0\end{pmatrix}.
Agora:
\det\begin{pmatrix}5 & 3\\\ 0 & 8\end{pmatrix}=5\cdot8-3\cdot0=40,
\det\begin{pmatrix}2 & 3\\\ 1 & 8\end{pmatrix}=2\cdot8-3\cdot1=16-3=13,
\det\begin{pmatrix}2 & 5\\\ 1 & 0\end{pmatrix}=2\cdot0-5\cdot1=-5.
Substituindo,
\det(A)=1\cdot40-2\cdot13+3\cdot(-5) =40-26-15=-1\neq0.

Passo 3

Como \det(A)\neq0, temos \rank(A)=3. O número de colunas de A é também 3, então a dimensão do espaço solução é
3-\rank(A)=3-3=0.
Um espaço de dimensão zero contém apenas o vetor 0.

Resposta

O espaço solução é somente a origem.

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