Determine se o espaço solução do sistema A X=0 é uma reta pela origem, um plano pela origem ou somente a origem. Se for um plano, obtenha a equação desse plano; se for uma reta, obtenha equações paramétricas dessa reta.
A=\left[\begin{array}{lll}1 & -3 & 1 \\\\ 2 & -6 & 2 \\\\ 3 & -9 & 3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede o espaço solução do sistema homogêneo A X=0 com
A=\begin{pmatrix} 1 & -3 & 1\\\\ 2 & -6 & 2\\\\ 3 & -9 & 3 \end{pmatrix},
ou seja, encontrar o núcleo (nullspace) de A. Para isso, vamos usar redução por linhas para achar a forma escalonada, determinar a posto (rank) de A e, em seguida, a dimensão e a descrição do espaço solução.

Passo 2

Aplicamos operações de linha para escalonar A. Partindo de
\begin{pmatrix} 1 & -3 & 1\\\\ 2 & -6 & 2\\\\ 3 & -9 & 3 \end{pmatrix},
subtraímos 2 vezes a linha 1 da linha 2 e 3 vezes a linha 1 da linha 3:
\begin{pmatrix} 1 & -3 & 1\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 3

Da forma escalonada vemos que só há uma linha não-nula, logo
\text{posto}(A)=1.
Como A é 3\times3, a dimensão do núcleo é
\dim\ker(A)=3-\text{posto}(A)=2.
Isto significa que o espaço solução é um plano que passa pela origem em \mathbb{R}^3.

Passo 4

A única equação não-trivial após escalonamento é
x - 3y + z = 0.
Portanto, o plano solução é dado por
x - 3y + z = 0.

Resposta

O espaço solução é um plano passando pela origem, cuja equação é
x - 3y + z = 0.

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