Questão 1: Seja W=\left\{\left(\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right) \in M_{2}(\mathbb{R}): a+c=d\right. e \left.b=0\right\} um subconjunto do \mathbb{R}-espaço vetorial M_{2}(\mathbb{R}).
(a) (1,0 ponto) Mostre que W é um subespaço vetorial de M_{2}(\mathbb{R}).
(b) ( 0,5 pontos) Determine uma base para W.

Passo 1

O enunciado define
W = \left\{\,\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}\in M_{2}(\mathbb{R}) : a+c = d\text{ e }b=0\right\}.
Queremos (a) mostrar que W é subespaço de M_{2}(\mathbb{R}) usando o critério de subespaço (não‐vazio, fechado em soma e fechado em multiplicação escalar) e (b) encontrar uma base de W.

Passo 2

Mostramos que o zero está em W. A matriz zero é
0 = \begin{pmatrix}0 & 0\\\\ 0 & 0\end{pmatrix}.
Aqui a=0, b=0, c=0 e d=0, e de fato a+c = 0 = d. Logo 0\in W, provando que W não é vazio.

Passo 3

Fechamento em soma. Sejam
A = \begin{pmatrix}a_1 & 0\\\ c_1 & d_1\end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix}a_2 & 0\\\ c_2 & d_2\end{pmatrix}
com d_1 = a_1 + c_1 e d_2 = a_2 + c_2. Então
A+B = \begin{pmatrix}a_1+a_2 & 0\\\ c_1+c_2 & d_1+d_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a' & 0\\\ c' & d'\end{pmatrix},
onde a'=a_1+a_2, c'=c_1+c_2 e
d' = d_1+d_2 = (a_1+c_1)+(a_2+c_2) = a'+c'.
Logo A+B satisfaz as mesmas condições e está em W.

Passo 4

Fechamento em multiplicação escalar. Para \lambda\in\mathbb{R} e
A = \begin{pmatrix}a & 0\\\ c & d\end{pmatrix}\in W,
temos
\lambda A = \begin{pmatrix}\lambda a & 0\\\ \lambda c & \lambda d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a' & 0\\\ c' & d'\end{pmatrix},
com a'=\lambda a, c'=\lambda c e
d' = \lambda d = \lambda(a+c) = a' + c'.
Portanto \lambda A\in W.

Passo 5

Como W contém o zero e é fechado em soma e escalar, concluímos que W é subespaço de M_{2}(\mathbb{R}). Para achar uma base, note que em W toda matriz tem a forma
\begin{pmatrix}a & 0\\\ c & a+c\end{pmatrix} = a\begin{pmatrix}1 & 0\\\\ 0 & 1\end{pmatrix} + c\begin{pmatrix}0 & 0\\\\ 1 & 1\end{pmatrix}.
Como os dois matrizes \displaystyle E_1=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix} e \displaystyle E_2=\begin{pmatrix}0&0\\\ 1&1\end{pmatrix} são linearmente independentes, elas formam uma base de W.

Resposta

(a) W é subespaço vetorial de M_{2}(\mathbb{R}).
(b) Uma base de W é
\left\{\, \begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0 & 0\\\ 1 & 1\end{pmatrix} \right\}.

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