Determine se o espaço soluçĩo do sistema A x=0 é uma reta pela origem, um plano pela origem ou somente a origem. Se for um plano, obtenha uma equação desse plano; se for uma reta, obtenha equações paramétricas dessa reta.
(a) A=[rrr-1 & 1 & 1 3 & -1 & 0 2 & -4 & -5]

Passo 1

O enunciado pede para estudar o sistema homogêneo A x=0 com
A=-1 & 1 & 13 & -1 & 02 & -4 & -5
e determinar se o espaço solução é uma reta pela origem, um plano pela origem ou só a origem. Vamos usar eliminação de Gauss para encontrar o posto de A e, a partir daí, a dimensão do núcleo ker(A).

Passo 2

Montamos a matriz aumentada e iniciamos a eliminação:
-1 & 1 & 1 & 0 3 & -1 & 0 & 0 2 & -4 & -5 & 0
Multiplicamos a primeira linha por -1 e, em seguida, zeramos abaixo de a11:
R1&>=ts -R1;Rightarrow;l(1;-1;-1;m|;0r), R2&>=ts R2-3R1;Rightarrow;l(0;2;3;m|;0r), R3&>=ts R3-2R1;Rightarrow;l(0;-2;-3;m|;0r)
Ficamos com
1 & -1 & -1 & 0 0 & 2 & 3 & 0 0 & -2 & -3 & 0

Passo 3

Note que a terceira linha é -1 vezes a segunda, então há apenas duas equações independentes:
x - y - z = 0, 2y + 3z = 0

Passo 4

O número de linhas não nulas após escalonamento é , logo . Como é , temos
Isto significa que o espaço solução é uma reta que passa pela origem.

Passo 5

Para encontrar as equações paramétricas, tomamos z=t. Da segunda equação vem
y=-tfrac32,t,
e então da primeira
x=y+z=-tfrac32,t + t = -tfrac12,t
Para eliminar frações, definimos t=2s. Assim
x=-s, y=-3s, z=2s,
ou seja
(x,y,z)=s,(-1,-3,2), sinR

Resposta

O espaço solução de A x=0 é uma reta pela origem, cujas equações paramétricas são
x=-s, y=-3s, z=2s, sinR

Exercícios relacionados