Quais dos seguintes são subespaços de F(-infty, infty) ?
(c) Todas as funçōes f em F(-infty, infty) tais que f(-x)=f(x).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
S = ,fin F(-infty,infty)mid f(-x)=f(x) para todo x
é um subespaço do espaço vetorial F(-infty,infty). Para isso, precisamos checar três propriedades: (i) o elemento zero pertence a S, (ii) S é fechado sob soma e (iii) S é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificar que o zero pertence a S: a função zero
f0(x)=0
satisfaz
f0(-x)=0=f0(x),
logo f0in S.

Passo 3

Fechamento sob soma: sejam f,gin S, isto é, f(-x)=f(x) e g(-x)=g(x). Então
(f+g)(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=(f+g)(x),
logo f+gin S.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação por escalar: seja fin S e alphain F. Então
(alpha f)(-x)=alpha,f(-x)=alpha,f(x)=(alpha f)(x),
logo alpha fin S.

Resposta

Sim. O conjunto de todas as funções pares é subespaço de F(-infty,infty).

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