Seja
o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e considere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas para
e
; por (Soma + )
e (produto escalar)
(
)
a. Calcule
ee
e
b. Mostre que
.
c. Mostre que
,
d. Mostre que vale o Axioma 4 fornecendo um par ordenado
tal que
.
e. Encontre dois axiomas de espaço vetorial que não sejam válidos.
a. Calcule
b. Mostre que
c. Mostre que
d. Mostre que vale o Axioma 4 fornecendo um par ordenado
e. Encontre dois axiomas de espaço vetorial que não sejam válidos.
Passo 1
O enunciado define em
uma “adição”
e o produto escalar usual
Vamos em (a) calcular quantitativamente, em (b) e (c) identificar o vetor nulo da estrutura e mostrar que
não o é, em (d) achar o inverso aditivo de um vetor genérico e em (e) apontar dois axiomas que falham.
Passo 2
(a) Seja
,
e
.
Primeiro
Primeiro
Em seguida
Passo 3
(c) Para achar o vetor nulo
basta resolver
Se
, então
implica
e
, ou seja
Passo 4
(b) Agora vemos que
, pois
e não
.
Passo 5
(d) Para achar o inverso aditivo de
queremos
tal que
Logo
dá
e
. Portanto
Passo 6
(e) Dois axiomas de espaço vetorial que não valem aqui são:
- Distributividade do escalar sobre soma de vetores:
em geral, pois falta o termo extra
vs.
.
- Propriedade
:
Resposta
(a)
e
.
(b) .
(c) .
(d) .
(e) Falham, por exemplo, a distributividade e a regra
.
(b)
(c)
(d)
(e) Falham, por exemplo, a distributividade