Seja V o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e considere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas para u=(u1, u2) e v= (v1, v2); por (Soma + ) u+v=(u1+v1+1, u2+v2+1) e (produto escalar) alpha u= ( alpha u1, alpha u2 )
a. Calcule u+v ee a u, com u=(0,4), v=(1,-3) e a=2
b. Mostre que (0,0) neq 0.
c. Mostre que (-1,-1)=0,
d. Mostre que vale o Axioma 4 fornecendo um par ordenado -u tal que u+(-u)=0, com u=(u1, u2).
e. Encontre dois axiomas de espaço vetorial que não sejam válidos.

Passo 1

O enunciado define em V= R^2 uma “adição”
(u1,u2)+(v1,v2)=(u1+v1+1,;u2+v2+1)
e o produto escalar usual
alphacdot(u1,u2)=(alpha u1,;alpha u2),
Vamos em (a) calcular quantitativamente, em (b) e (c) identificar o vetor nulo da estrutura e mostrar que (0,0) não o é, em (d) achar o inverso aditivo de um vetor genérico e em (e) apontar dois axiomas que falham.

Passo 2

(a) Seja u=(0,4), v=(1,-3) e a=2.
Primeiro
u+v=(0+1+1,;4+(-3)+1)=(2,2)
Em seguida
acdot u=2cdot(0,4)=(2cdot0,;2cdot4)=(0,8)

Passo 3

(c) Para achar o vetor nulo 0 basta resolver
(u1,u2)+0=(u1,u2)forall(u1,u2)
Se 0=(z1,z2), então
(u1+z1+1,;u2+z2+1)=(u1,u2)
implica z1+1=0 e z2+1=0, ou seja
0=(-1,-1)

Passo 4

(b) Agora vemos que (0,0)neq0, pois 0=(-1,-1) e não (0,0).

Passo 5

(d) Para achar o inverso aditivo de u=(u1,u2) queremos -u=(x,y) tal que
(u1,u2)+(x,y)=0=(-1,-1)
Logo
(u1+x+1,;u2+y+1)=(-1,-1)
x=-u1-2 e y=-u2-2. Portanto
-u=(-u1-2,;-u2-2)

Passo 6

(e) Dois axiomas de espaço vetorial que não valem aqui são:
  1. Distributividade do escalar sobre soma de vetores:
alphacdot(u+v)=(alpha(u1+v1+1),;alpha(u2+v2+1)) neq(alpha u1+alpha v1+1,;alpha u2+alpha v2+1)=alpha u+alpha v
em geral, pois falta o termo extra +alpha vs. +1.
  1. Propriedade 0cdot u=0:
0cdot(u1,u2)=(0,0)neq(-1,-1)=0

Resposta

(a) u+v=(2,2) e 2u=(0,8).
(b) (0,0)neq0.
(c) 0=(-1,-1).
(d) -u=(-u1-2,,-u2-2).
(e) Falham, por exemplo, a distributividade alpha(u+v)=alpha u+alpha v e a regra 0cdot u=0.

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