Seja
um espaço vetorial sobre
, demonstre que:
Se
e
, então
.
Se
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos provar a propriedade de cancelamento na adição de um espaço vetorial
sobre
. Dados
com
devemos mostrar que
. Para isso usaremos os axiomas de espaço vetorial, em particular a existência de elemento neutro e inverso aditivo, além da associatividade da adição.
Passo 2
Em qualquer espaço vetorial
existe um elemento neutro aditivo, denotado por
, tal que para todo
vale
Além disso, para cada
existe o seu inverso aditivo, denotado por
, satisfazendo
Passo 3
Partindo da igualdade dada
somamos o inverso aditivo de
em ambos os lados. Assim, temos
Passo 4
Pela associatividade da adição, podemos reassociar:
Mas
. Logo,
E pelo fato de
ser neutro,
Resposta
Como desejado, provamos que
.