Seja V um espaço vetorial sobre R, demonstre que:
Se u, v, w in V e u+v=u+w, então v=w.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos provar a propriedade de cancelamento na adição de um espaço vetorial V sobre R. Dados u,v,win V com
u + v = u + w,
devemos mostrar que v = w. Para isso usaremos os axiomas de espaço vetorial, em particular a existência de elemento neutro e inverso aditivo, além da associatividade da adição.

Passo 2

Em qualquer espaço vetorial V existe um elemento neutro aditivo, denotado por 0, tal que para todo xin V vale
x + 0 = x
Além disso, para cada xin V existe o seu inverso aditivo, denotado por -x, satisfazendo
x + (-x) = 0

Passo 3

Partindo da igualdade dada
u + v = u + w,
somamos o inverso aditivo de u em ambos os lados. Assim, temos
(-u) + (u + v) = (-u) + (u + w)

Passo 4

Pela associatividade da adição, podemos reassociar:
((-u) + u) + v = ((-u) + u) + w
Mas (-u) + u = 0. Logo,
0 + v = 0 + w
E pelo fato de 0 ser neutro,
v = w

Resposta

Como desejado, provamos que v = w.

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