Determine o espocovitorial gerado por
(13,-5,0,0,-3),(0,0,-5,1,2),(1,0,5,10,0) de \mathbb{R}^{5}

Passo 1

O enunciado dá os vetores
v_{1}=(13,-5,0,0,-3),\quad v_{2}=(0,0,-5,1,2),\quad v_{3}=(1,0,5,10,0)
em \mathbb{R}^5 e pede o espaço vetorial por eles gerado. O conteúdo aqui é combinação linear, independência linear e dimensão de subespaço.

Passo 2

Definimos
W=\mathrm{Span}\{v_{1},v_{2},v_{3}\}
e um vetor genérico de W é
w=a\,v_{1}+b\,v_{2}+c\,v_{3}
com a,b,c\in\mathbb{R}. Calculando coordenada a coordenada, obtemos
w=(\,13a+c,\;-5a,\;-5b+5c,\;b+10c,\;-3a+2b\,).

Passo 3

Para verificar se \{v_{1},v_{2},v_{3}\}\) é linearmente independente, impomos \[a\,v_{1}+b\,v_{2}+c\,v_{3}=0
o que dá o sistema
\begin{cases} 13a+c=0,\\\\ -5a=0,\\\\ -5b+5c=0,\\\ b+10c=0,\\\\ -3a+2b=0. \end{cases}
Da segunda equação vem a=0\]; então da primeira \(c=0; e da terceira segue b=0. Logo a única solução é a=b=c=0, o que mostra independência linear e \dim W=3.

Passo 4

Como os três vetores são independentes, eles próprios formam uma base de W. Em particular, uma forma paramétrica de W é
W=\{(13a+c,\,-5a,\,-5b+5c,\;b+10c,\,-3a+2b)\mid a,b,c\in\mathbb{R}\}.

Resposta

O espaço vetorial gerado é
\mathrm{Span}\{(13,-5,0,0,-3),\,(0,0,-5,1,2),\,(1,0,5,10,0)\},
tem dimensão 3 e base dada pelos vetores originais.

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