Determine o espocovitorial gerado por
\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 4\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0 & 4 \\\\ -1 & -3\end{array}\right) de M_{2 \times 2}(\mathbb{R})

Passo 1

O enunciado pede o subespaço vetorial de M_{2\times2}(\mathbb{R}) gerado pelas matrizes
A=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[6pt]0 & 4\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad B=\begin{pmatrix}0 & 4 \\[6pt]-1 & -3\end{pmatrix}.
Estamos em Espaços Vetoriais e precisamos achar todas as combinações lineares \alpha A+\beta B, com \alpha,\beta\in\mathbb{R}.]

Passo 2

Vamos escrever a combinação linear genérica:
\alpha A + \beta B =\alpha\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt]0 & 4\end{pmatrix} +\beta\begin{pmatrix}0 & 4 \\[4pt]-1 & -3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \alpha & \alpha \\[4pt]0 & 4\alpha \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 4\beta \\[4pt]-\beta & -3\beta \end{pmatrix}.]

Passo 3

Somando as entradas correspondentes, obtemos
\alpha A+\beta B =\begin{pmatrix} \alpha & \alpha+4\beta \\[4pt] -\beta & 4\alpha-3\beta \end{pmatrix}.
Logo, todo elemento de \mathrm{Span}\{A,B\} é da forma \begin{pmatrix}a & b\\[2pt]c & d\end{pmatrix} com
a=\alpha,\quad b=\alpha+4\beta,\quad c=-\beta,\quad d=4\alpha-3\beta.]

Passo 4

Podemos eliminar \alpha e \beta em favor de a e c:
\alpha=a,\qquad -\beta=c\implies \beta=-c.
Substituindo em b e d:
b=a+4(-c)=a-4c, \qquad d=4a-3(-c)=4a+3c.

Passo 5

Portanto o espaço gerado é
\mathrm{Span}\{A,B\} =\Bigl\{\begin{pmatrix} a & a-4c\\[4pt] c & 4a+3c \end{pmatrix}\Bigm|a,c\in\mathbb{R}\Bigr\},
que é um subespaço de dimensão 2 de M_{2\times2}(\mathbb{R}).]

Resposta

\mathrm{Span}\{A,B\} =\Bigl\{\begin{pmatrix} a & a-4c\\[4pt] c & 4a+3c \end{pmatrix}\Bigm|a,c\in\mathbb{R}\Bigr\}.]

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