Esboce o gráfico das seguintes equações:
x^{2}+y^{2}-2 x-16 y+13=0

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da curva dada pela equação
x^{2}+y^{2}-2x-16y+13=0.
Este é um caso de geometria analítica em que reconhecemos uma circunferência ao completar quadrados em x e y.

Passo 2

Agrupamos termos em x e em y:
x^{2}-2x \;+\; y^{2}-16y \;+\; 13 \;=\; 0.
Agora completamos o quadrado em cada grupo:
  • Para x^{2}-2x, adicionamos e subtraímos (1)^{2}.
  • Para y^{2}-16y, adicionamos e subtraímos (8)^{2}.

Passo 3

Escrevendo com os termos ajustados:
\bigl(x^{2}-2x+1\bigr) -1 \;+\;\bigl(y^{2}-16y+64\bigr) -64 \;+\;13 \;=\;0.
Isto dá em bloco:
(x-1)^{2} + (y-8)^{2} \;-\;1 -64 +13 \;=\;0
(x-1)^{2} + (y-8)^{2} \;-\;52 \;=\;0
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(x-1)^{2} + (y-8)^{2} \;=\;52.

Passo 4

Da forma (x-1)^{2}+(y-8)^{2}=52 identificamos:
  • Centro C=(1,8).
  • Raio r = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}.

Passo 5

Para ajudar no esboço, encontramos pontos-notáveis:
  • No eixo y (isto é, em x=0):
(0-1)^{2}+(y-8)^{2}=52\;\Rightarrow\;(y-8)^{2}=51 \;\Rightarrow\;y=8\pm\sqrt{51}\approx8\pm7{,}14.
  • Não há interseção real com o eixo x (pois ao fazer y=0 exige (x-1)^{2}=-12, impossível).
    Desenhamos o centro em (1,8), marcamos os pontos ao norte e sul (distância 2\sqrt{13}) e traçamos a circunferência.

Resposta

O gráfico é uma circunferência de centro (1,8) e raio 2\sqrt{13}.

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