Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} onde T(x, y, z)=(2 x-y+z, 3 x+y-2 z), uma transformação linear. Considerando as respectivas bases canônicas \beta=\left\{e_{1}, e_{2}, e_{3}\right\} e \alpha=\left\{e_{1}^{*}, e_{2}^{*}\right\} do \mathbb{R}^{3} e \mathbb{R}^{2}, determine [T]_{\beta}^{\alpha}. Se v=(3,-4,-2) um vetor escrito na base \beta, calcule T[v] utilizando a matriz encontrada.
Resp.: [T]_{\beta}^{\alpha}=\left[\begin{array}{ccc}2 & -1 & 1 \\\\ 3 & 1 & -2\end{array}\right], T[v]=\left[\begin{array}{c}12 \\\\ 1\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2},\quad T(x,y,z)=(2x - y + z,\;3x + y - 2z)
e pede a matriz de T em relação às bases canônicas \beta de \mathbb{R}^3 e \alpha de \mathbb{R}^2, além de aplicar essa matriz ao vetor v=(3,-4,-2) escrito na base \beta. Vamos usar a definição de matriz de transformação linear em bases canônicas e depois multiplicar pela coluna de coordenadas de v.
Passo 2
Em bases canônicas, as colunas de [T]_{\beta}^{\alpha} são os vetores T(e_{1}),T(e_{2}),T(e_{3}) escritos em \alpha. Calculamos: