Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} onde T(x, y, z)=(2 x-y+z, 3 x+y-2 z), uma transformação linear. Considerando as respectivas bases canônicas \beta=\left\{e_{1}, e_{2}, e_{3}\right\} e \alpha=\left\{e_{1}^{*}, e_{2}^{*}\right\} do \mathbb{R}^{3} e \mathbb{R}^{2}, determine [T]_{\beta}^{\alpha}. Se v=(3,-4,-2) um vetor escrito na base \beta, calcule T[v] utilizando a matriz encontrada.
Resp.: [T]_{\beta}^{\alpha}=\left[\begin{array}{ccc}2 & -1 & 1 \\\\ 3 & 1 & -2\end{array}\right], T[v]=\left[\begin{array}{c}12 \\\\ 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2},\quad T(x,y,z)=(2x - y + z,\;3x + y - 2z)
e pede a matriz de T em relação às bases canônicas \beta de \mathbb{R}^3 e \alpha de \mathbb{R}^2, além de aplicar essa matriz ao vetor v=(3,-4,-2) escrito na base \beta. Vamos usar a definição de matriz de transformação linear em bases canônicas e depois multiplicar pela coluna de coordenadas de v.

Passo 2

Em bases canônicas, as colunas de [T]_{\beta}^{\alpha} são os vetores T(e_{1}),T(e_{2}),T(e_{3}) escritos em \alpha. Calculamos:
T(e_{1})=T(1,0,0)=(2\cdot1-0+0,\;3\cdot1+0-0)=(2,3),
T(e_{2})=T(0,1,0)=(2\cdot0-1+0,\;3\cdot0+1-0)=(-1,1),
T(e_{3})=T(0,0,1)=(2\cdot0-0+1,\;3\cdot0+0-2\cdot1)=(1,-2).
Logo,
[T]_{\beta}^{\alpha} =\begin{pmatrix} 2 & -1 & 1\\\\ 3 & 1 & -2 \end{pmatrix}.

Passo 3

Para encontrar T[v], multiplicamos essa matriz pela coluna de coordenadas de v em \beta, que é \bigl(3,-4,-2\bigr)^{T}:
T[v] =\begin{pmatrix} 2 & -1 & 1\\\\ 3 & 1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}3\\\ -4\\\ -2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2\cdot3 + (-1)\cdot(-4) + 1\cdot(-2)\\[6pt] 3\cdot3 + 1\cdot(-4) + (-2)\cdot(-2) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 8\\[3pt] 9 \end{pmatrix}.]

Resposta

[T]_{\beta}^{\alpha} =\begin{pmatrix} 2 & -1 & 1\\\\ 3 & 1 & -2 \end{pmatrix}, \quad T[v] =\begin{pmatrix} 8\\\\ 9 \end{pmatrix}.

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