Determine o estimador de Máxima Verossimilhança do parâmetro
, considerando
conhecido.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de Estatística envolvendo o Estimador de Máxima Verossimilhança (MLE) para encontrar o valor de
. A gente já sabe que
é conhecido. A função de densidade que a gente vai trabalhar é:
Então, para resolver isso, vamos precisar entender como montar a função de verossimilhança, fazer o logaritmo dela, derivar em relação a
e achar o valor que maximiza essa verossimilhança.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função de verossimilhança. Se a gente tem uma amostra de dados
, a verossimilhança é o produto das densidades individuais para cada
. Assim:
Passo 3
Agora, para facilitar as contas, a gente vai trabalhar com o logaritmo da verossimilhança, chamado de log-verossimilhança. Isso transforma o produto em soma:
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão usando propriedades dos logaritmos:
Como
e
são constantes, podemos reorganizar:
Passo 5
Agora, para encontrar o valor de
que maximiza a verossimilhança, a gente deriva a log-verossimilhança em relação a
e iguala a zero:
Vamos calcular a derivada:
Passo 6
Resolvendo para
, vamos multiplicar tudo por
para eliminar o denominador:
Isolando
:
Resposta
Portanto, o estimador de Máxima Verossimilhança para
é:
Onde
é a média dos dados da amostra.