Determine o estimador de Máxima Verossimilhança do parâmetro beta, considerando alpha conhecido.
f(x)=x^alpha e^-xbetabeta^(alpha+1) Gamma(alpha+1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de Estatística envolvendo o Estimador de Máxima Verossimilhança (MLE) para encontrar o valor de beta. A gente já sabe que alpha é conhecido. A função de densidade que a gente vai trabalhar é:
f(x)=x^alpha e^-xbetabeta^(alpha+1) Gamma(alpha+1)
Então, para resolver isso, vamos precisar entender como montar a função de verossimilhança, fazer o logaritmo dela, derivar em relação a beta e achar o valor que maximiza essa verossimilhança.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função de verossimilhança. Se a gente tem uma amostra de dados x1, x2, dots, xn, a verossimilhança é o produto das densidades individuais para cada xi. Assim:
L(beta) = prodi=1^n f(xi) = prodi=1^n xi^alpha e^-xibetabeta^(alpha+1) Gamma(alpha+1)

Passo 3

Agora, para facilitar as contas, a gente vai trabalhar com o logaritmo da verossimilhança, chamado de log-verossimilhança. Isso transforma o produto em soma:
ln L(beta) = sumi=1^n ln ( xi^alpha e^-xibetabeta^(alpha+1) Gamma(alpha+1) )

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão usando propriedades dos logaritmos:
ln L(beta) = sumi=1^n ( alpha ln xi - xibeta - (alpha + 1) ln beta - ln Gamma(alpha + 1) )
Como alpha e Gamma(alpha + 1) são constantes, podemos reorganizar:
ln L(beta) = alpha sumi=1^n ln xi - 1beta sumi=1^n xi - (alpha + 1) n ln beta - n ln Gamma(alpha + 1)

Passo 5

Agora, para encontrar o valor de beta que maximiza a verossimilhança, a gente deriva a log-verossimilhança em relação a beta e iguala a zero:
ddbeta ln L(beta) = 0
Vamos calcular a derivada:
ddbeta ln L(beta) = 1beta^2 sumi=1^n xi - (alpha + 1) nbeta = 0

Passo 6

Resolvendo para beta, vamos multiplicar tudo por beta^2 para eliminar o denominador:
sumi=1^n xi - (alpha + 1) n beta = 0
Isolando beta:
beta = sumi=1^n xi(alpha + 1) n

Resposta

Portanto, o estimador de Máxima Verossimilhança para beta é:
beta = sumi=1^n xi(alpha + 1) n = barxalpha + 1
Onde barx é a média dos dados da amostra.

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