Determine uma estimativa para a média amostral e variância amostral da seguinte amostra.
2,2,3,1,4,5,3,4,5,6,5,3,4,3,4,2,4,3,5,2,1,6,2,3 e 4.

Passo 1

O enunciado pede que eu determine uma estimativa para a média amostral e a variância amostral da amostra dada. A amostra fornecida é:
2,\,2,\,3,\,1,\,4,\,5,\,3,\,4,\,5,\,6,\,5,\,3,\,4,\,3,\,4,\,2,\,4,\,3,\,5,\,2,\,1,\,6,\,2,\,3,\,4.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{tamanho da amostra } n = 25.
As perguntas são:
  1. Calcular a média amostral \bar{x}.
  2. Calcular a variância amostral s^{2}.

Passo 2

Vou começar explicando a fórmula da média amostral e o que cada símbolo significa.
A média amostral é dada por
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
onde \bar{x} é a média da amostra, n é o número de observações da amostra, e x_i são os valores observados.
Para facilitar os cálculos vou usar a contagem (frequência) de cada valor na amostra. Contando os valores da amostra obtenho:
\begin{aligned} \text{valor }1 &: \,2\\ \text{vezes},\\\ \text{valor }2 &: \,5\\ \text{vezes},\\\ \text{valor }3 &: \,6\\ \text{vezes},\\\ \text{valor }4 &: \,6\\ \text{vezes},\\\ \text{valor }5 &: \,4\\ \text{vezes},\\\ \text{valor }6 &: \,2\\ \text{vezes}. \end{aligned}
Com isso o somatório dos x_i fica
\sum_{i=1}^{n} x_i = 1\cdot 2 + 2\cdot 5 + 3\cdot 6 + 4\cdot 6 + 5\cdot 4 + 6\cdot 2 = 86.
Então a média amostral é
\bar{x}=\frac{86}{25}=3{,}44.

Passo 3

Agora a variância amostral. Primeiro a definição e o que cada símbolo significa.
A variância amostral (estimador amostral clássico) é
s^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})^{2},
onde s^{2} é a variância amostral, n é o tamanho da amostra, x_i são os dados e \bar{x} é a média amostral.
Calcular \sum (x_i-\bar{x})^{2} diretamente exige calcular cada desvio ao quadrado. Uma forma equivalente e numérica conveniente é usar a fórmula computacional:
\sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})^{2}=\sum_{i=1}^{n} x_i^{2} - n\bar{x}^{2}.
Vou calcular \sum x_i^{2} usando novamente as frequências:
\sum_{i=1}^{n} x_i^{2} = 1^{2}\cdot 2 + 2^{2}\cdot 5 + 3^{2}\cdot 6 + 4^{2}\cdot 6 + 5^{2}\cdot 4 + 6^{2}\cdot 2 = 344.
Já calculei \bar{x}=\dfrac{86}{25}. Então
n\bar{x}^{2}=25\left(\frac{86}{25}\right)^{2}=\frac{86^{2}}{25}=\frac{7396}{25}=295{,}84.
Logo
\sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})^{2} = 344 - 295{,}84 = 48{,}16.
Agora divido por n-1=24:
s^{2}=\frac{48{,}16}{24}=\frac{1204}{600}=\frac{301}{150}\approx 2{,}0067.
Observação didática curta: a razão de usar \dfrac{1}{n-1} em vez de \dfrac{1}{n} é que \dfrac{1}{n-1} dá um estimador não tendencioso da variância da população quando usamos a média amostral no lugar da média verdadeira.

Passo 4

Resumo do raciocínio para você lembrar na prova:
  • Conte quantas observações n e some os valores para obter \bar{x}=\dfrac{1}{n}\sum x_i.
  • Para a variância, calcule \sum x_i^{2} (frequências ajudam muito) e use s^{2}=\dfrac{1}{n-1}\big(\sum x_i^{2}-n\bar{x}^{2}\big). Isso evita computar todos os desvios individualmente e é rápido para a prova.
Força aí — você já tem a resposta e o método prático para aplicar em outros exemplos!

Resposta

\bar{x}=\dfrac{86}{25}=3{,}44
s^{2}=\dfrac{301}{150}\approx 2{,}0067

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