Determine estimativas para os erros de arredondamento e truncamento na aproximação dos seguintes números no sistema S[10,3,-8,8] :
x=0.0032783

Passo 1

Temos que aproximar o número
x = 0.0032783
no sistema de ponto flutuante S[\beta=10,p=3,L=-8,U=8]. Aqui o conteúdo é representação em ponto flutuante de precisão p=3 em base 10, usando dois modos de aproximação: truncamento (chopping) e arredondamento (rounding). Vamos (1) normalizar x, (2) obter as aproximações por truncamento e por arredondamento, e (3) estimar os erros dessas aproximações.

Passo 2

Primeiro escrevemos x na forma normalizada
x = m\times10^e,\quad m\in[0.1,1),\;e\in\mathbb{Z}.
Note que
0.0032783 = 0.32783\times10^{-2},
portanto a mantissa verdadeira é m=0.32783 e o expoente é e=-2.

Passo 3

Com m=0.32783, vamos aos dois modos de aproximação de mantissa com p=3 dígitos significativos:
  1. Truncamento (chopping): mantemos apenas os três primeiros dígitos de m,
m_{\mathrm{tr}} = 0.327,
e a aproximação é
x_{\mathrm{tr}} = 0.327\times10^{-2} = 0.00327.
  1. Arredondamento (rounding): olhamos o quarto dígito de m (que é 8); como 8\ge5, incrementamos o terceiro dígito:
m_{\mathrm{rd}} = 0.328,
e a aproximação é
x_{\mathrm{rd}} = 0.328\times10^{-2} = 0.00328.

Passo 4

Agora calculamos os erros absolutos e os comparamos com as estimativas teóricas:
  1. Erro de truncamento:
E_{\mathrm{tr}} = \bigl|x - x_{\mathrm{tr}}\bigr| = \bigl|0.0032783 - 0.00327\bigr| = 0.0000083 = 8.3\times10^{-6}.
A cota teórica para truncamento é
|E_{\mathrm{tr}}|\le 10^{-p}\times10^{e} =10^{-3}\times10^{-2} =10^{-5}=1\times10^{-5},
e de fato 8.3\times10^{-6}\le1\times10^{-5}.
  1. Erro de arredondamento:
E_{\mathrm{rd}} = \bigl|x - x_{\mathrm{rd}}\bigr| = \bigl|0.0032783 - 0.00328\bigr| = 0.0000017 =1.7\times10^{-6}.
A cota teórica para arredondamento é
|E_{\mathrm{rd}}|\le\tfrac12\,10^{-p}\times10^{e} =\tfrac12\,10^{-3}\times10^{-2} =5\times10^{-6},
e de fato 1.7\times10^{-6}\le5\times10^{-6}.

Resposta

Truncamento:
x_{\mathrm{tr}}=0.00327,\quad |E_{\mathrm{tr}}|=8.3\times10^{-6}\;(\le10^{-5}).
Arredondamento:
x_{\mathrm{rd}}=0.00328,\quad |E_{\mathrm{rd}}|=1.7\times10^{-6}\;(\le5\times10^{-6}).

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