Questão 8: (1,3 pontos)
Calcule (x y) d y sen C, sendo (3,0) o segmento de reta que une os pontos (0,3) e .

Passo 1

A questão pede para calcular a integral de linha integralC P,dx + Q,dy, onde P(x,y)=y^2 - ysin(xy) e Q(x,y)=2xy - xsin(xy), ao longo do segmento de reta que liga (3,0) a (0,3). O conteúdo principal é integral de linha de formas diferenciais exatas, e vamos precisar verificar se P,dx+Q,dy é exata e, em caso afirmativo, encontrar uma potencial f(x,y).

Passo 2

Primeiro, checamos a exatidão calculando as derivadas parciais
Py = partialpartial yl(y^2 - ysin(xy)r) = 2y - sin(xy) - xycos(xy),
Qx = partialpartial xl(2xy - xsin(xy)r) = 2y - sin(xy) - xycos(xy)
Como Py = Qx, a forma é exata.

Passo 3

Como é exata, existe f(x,y) tal que fx = P e fy = Q. Integramos P em relação a x:
f(x,y) = integral l(y^2 - ysin(xy)r),dx = x y^2 - yintegral sin(xy),dx
Como
integral sin(xy),dx = -1ycos(xy),
vem
f(x,y) = x y^2 + cos(xy) + g(y),
onde g(y) é função somente de y.

Passo 4

Para determinar g(y), derivamos f em relação a y e igualamos a Q:
fy = 2xy - xsin(xy) + g'(y) = Q = 2xy - xsin(xy)
Logo g'(y)=0, ou seja, g é constante. Podemos então tomar
f(x,y)=xy^2+cos(xy)
A integral de linha sobre C é
fl(0,3r)-fl(3,0r)

Resposta

0

Exercícios relacionados