Determine se existem inteiros positivos
e
que satisfaçam a equação
.
Passo 1
O enunciado pede para ver se existem inteiros positivos
e
tais que
Conteúdo: equações exponenciais e fatoração em números primos.
O que precisaremos:
O que precisaremos:
- Fatorar cada base em primos (2, 3, 5, 7).
- Reescrever LHS e RHS em potências desses primos.
- Igualar os expoentes de cada primo e resolver as equações resultantes.
Passo 2
Primeiro, fatoramos cada número em primos:
Isso é importante porque, em uma equação de produtos de potências, duas expressões são iguais sse os expoentes de cada primo coincidirem.
Passo 3
Reescrevendo cada termo em primos:
LHS:
RHS:
Passo 4
Agora igualamos expoentes de cada primo em LHS e RHS:
Primo 2:
Primo 3:
Primo 5:
Primo 7:
Note que dá a mesma equação que para o 5, então é consistente.
Passo 5
Substituindo
em
:
Tanto
quanto
são inteiros positivos, então encontramos solução.
Resposta
Sim, existem:
e
.