Determine se existem inteiros positivos x e y que satisfaçam a equação 30^x cdot 35^y=21^x cdot 140 cdot 5^2 x.

Passo 1

O enunciado pede para ver se existem inteiros positivos 30^x cdot 35^y ;=; 21^x cdot 140 cdot 5^2x e tais que
Conteúdo: equações exponenciais e fatoração em números primos.
O que precisaremos:
  • Fatorar cada base em primos (2, 3, 5, 7).
  • Reescrever LHS e RHS em potências desses primos.
  • Igualar os expoentes de cada primo e resolver as equações resultantes.

Passo 2

Primeiro, fatoramos cada número em primos:
30 &= 2 cdot 3 cdot 5, 35 &= 5 cdot 7, 21 &= 3 cdot 7, 140 &= 2^2 cdot 5 cdot 7
Isso é importante porque, em uma equação de produtos de potências, duas expressões são iguais sse os expoentes de cada primo coincidirem.

Passo 3

Reescrevendo cada termo em primos:
LHS:
30^x cdot 35^y = (2cdot3cdot5)^x ;cdot;(5cdot7)^y = 2^x ,3^x,5^x ;cdot;5^y,7^y = 2^x,3^x,5^,x+y,7^y
RHS:
21^x cdot 140 cdot 5^2x = (3cdot7)^x ;cdot;(2^2cdot5cdot7);cdot;5^2x = 3^x,7^x ;cdot;2^2,5,7;cdot;5^2x = 2^2,3^x,7^,x+1,5^,2x+1

Passo 4

Agora igualamos expoentes de cada primo em LHS e RHS:
Primo 2:
expoente em LHS = x, expoente em RHS = 2 ;Longrightarrow; x = 2
Primo 3:
expoente em LHS = x, expoente em RHS = x ;Longrightarrow; sempre ok (não >=ra nova condição) ãçã
Primo 5:
expoente em LHS = x+y, expoente em RHS = 2x+1 ;Longrightarrow; x + y = 2x + 1 ;Longrightarrow; y = x + 1
Primo 7:
expoente em LHS = y, expoente em RHS = x+1 ;Longrightarrow; y = x + 1
Note que dá a mesma equação que para o 5, então é consistente.

Passo 5

Substituindo y = 2 + 1 = 3 em :
Tanto quanto são inteiros positivos, então encontramos solução.

Resposta

Sim, existem: e .

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