Determine se existem inteiros positivos x, y e z que satisfaçam a equação 2^x cdot 3^4 cdot 26^y=39^z.

Passo 1

Beleza, mano, o enunciado manda a gente achar inteiros positivos 2^x,cdot,3^4,cdot,26^y ;=; 39^z tais que
O conteúdo aqui é fatoração em primos e comparação de expoentes (diophantina simples). Para resolver, vamos:
  1. escrever tudo em fatores primos;
  2. igualar expoentes de cada primo;
  3. ver se dá pra achar .

Passo 2

Primeiro, fatoramos 26 e 39 em primos:
26 = 2cdot 13, 39 = 3cdot 13
Então:
Lado esquerdo:
2^x,cdot,3^4,cdot,(2cdot13)^y ;=; 2^x,cdot,3^4,cdot,2^y,cdot,13^y ;=; 2^,x+y,cdot,3^4,cdot,13^y
Lado direito:
39^z = (3cdot13)^z = 3^z,cdot,13^z

Passo 3

Agora, como a igualdade vale, os expoentes de cada primo têm de bater:
  • Para o primo 2: x + y = 0 (do lado direito não tem fator 2) ã
  • Para o primo 3: 4 = z
  • Para o primo 13: y = z

Passo 4

Das duas últimas igualdades tiramos
z = 4 e y = z = 4
Mas o primeiro requisito pede x + 4 = 0 ;Longrightarrow; x = -4, , então substituindo :
que não é um inteiro positivo.

Resposta

Não existem inteiros positivos que satisfaçam a equação.

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