Sejam e d números inteiros. Suponha que d divide a. Mostre que:
(1) a e a+1 não podem ter nenhum fator próprio comum.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz o seguinte: a gente tem três números inteiros , e , e sabe que divide . O que a questão quer é mostrar que e não têm nenhum fator próprio em comum, isto é, .
Matéria que vamos usar: definição de divisor, o que significa (máximo divisor comum) e a propriedade básica de que todo divisor comum de dois números também divide a diferença entre eles.
Passo 2
Primeiro, lembra do que é : é o maior inteiro que divide ao mesmo tempo e . Se a gente provar que qualquer divisor comum de e só pode ser (ou , mas geralmente a gente fala em positivo), já mostrou que .
Passo 3
Agora, a ideia-chave: se um número divide dois outros e , então ele também divide a diferença . Aqui, se divide e divide , então
Mas o único divisor inteiro de é . Como normalmente consideramos sempre positivo, o único candidato é .
Resposta
. Portanto, e não têm nenhum divisor próprio em comum além de .