Quais números naturais
e
satisfazem a
?
Passo 1
Enunciado resumido: a gente quer achar todos os inteiros naturais
e
tais que
Conteúdo: é uma equação diofantina envolvendo potência de 2 e quadrado perfeito. Vamos precisar fatorar
, usar que produto de potências de 2 só pode dar potência de 2, e observar a diferença entre fatores consecutivos.
Passo 2
Reescreve a equação como
Isso nos mostra que o produto
é uma potência de 2.
Passo 3
Teoria aplicada: se um produto
é igual a
, então
e
também têm de ser potências de 2 (porque 2 é primo). Ou seja, existem inteiros
tais que
com
.
Passo 4
Como
e
são dois números pares consecutivos (diferença de 2), procuramos potências de 2 que diferem exatamente em 2. A lista de potências de 2 começa assim:
Só o par
e
tem diferença
. Logo a única escolha é
Passo 5
Resolve o sistema:
Resposta
Os únicos naturais
que satisfazem
são