Quais números naturais m e n satisfazem a 2^n+1=m^2 ?

Passo 1

Enunciado resumido: a gente quer achar todos os inteiros naturais 2^n + 1 ;=; m^2 e tais que
Conteúdo: é uma equação diofantina envolvendo potência de 2 e quadrado perfeito. Vamos precisar fatorar , usar que produto de potências de 2 só pode dar potência de 2, e observar a diferença entre fatores consecutivos.

Passo 2

Reescreve a equação como
2^n ;=; m^2 - 1 ;=;(m-1)(m+1)
Isso nos mostra que o produto é uma potência de 2.

Passo 3

Teoria aplicada: se um produto m-1 = 2^a e m+1 = 2^b, é igual a , então e também têm de ser potências de 2 (porque 2 é primo). Ou seja, existem inteiros tais que
com .

Passo 4

Como 1,,2,,4,,8,,16,dots e m-1 = 2 e m+1 = 4 são dois números pares consecutivos (diferença de 2), procuramos potências de 2 que diferem exatamente em 2. A lista de potências de 2 começa assim:
Só o par e tem diferença . Logo a única escolha é

Passo 5

Resolve o sistema:
m-1=2 ;Longrightarrow; m=3,
(m-1)(m+1)=2cdot4=8=2^n ;Longrightarrow; n=3

Resposta

Os únicos naturais boxedm=3, n=3 que satisfazem são

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