Determine se existem ou não os limites:
lim (x, y) (0,0) x^2 sin ^2 xx^2+2 y^2.

Passo 1

O enunciado pede o limite da função de duas variáveis
f(x,y)=x^2,sin^2xx^2+2y^2
quando (x,y)to(0,0). O conteúdo é limites em várias variáveis, e vamos usar o Teorema do Confronto (squeeze theorem) para mostrar que o limite existe e encontrar seu valor.

Passo 2

Observamos que para todo x vale
sin^2x <= x^2,
logo o numerador satisfaz
x^2,sin^2x <= x^2cdot x^2 = x^4

Passo 3

Como o denominador x^2+2y^2 é sempre não negativo (e positivo fora da origem), temos
l|f(x,y)r| = x^2,sin^2xx^2+2y^2 <= x^4x^2+2y^2
E, para (x,y)neq(0,0),
x^4x^2+2y^2 <= x^4x^2 = x^2

Passo 4

Portanto
0 <= l|f(x,y)r| <= x^2,
e como (x,y)to(0,0) implica xto 0, temos x^2to 0. Pelo Teorema do Confronto, segue que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0

Resposta

0

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