Mostre que para quaisquer a, b, c, d in N são válidas as propriedades:
se a<b então a+c<b+c.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados quaisquer a,b,cinN, a adição preserva a desigualdade, ou seja, que
se a<b então a+c<b+c ã
O conteúdo aqui é a propriedade de monotonicidade da adição nos naturais, que se prova usando a definição de ordem em N e as leis de associatividade e comutatividade da soma.

Passo 2

Lembrando a definição de ordem em N: dizemos que
a<b
se, e somente se, existe algum kinNsetminus0 tal que
b = a + k

Passo 3

Partindo da hipótese a<b, pela definição existe kinNsetminus0 com
b = a + k

Passo 4

Agora somamos c a ambos os lados dessa igualdade:
b + c = (a + k) + c
Pela associatividade da adição temos
(a + k) + c = a + (k + c)

Passo 5

Como a adição é comutativa, podemos reordenar:
a + (k + c) = (a + c) + k
Logo
b + c = (a + c) + k
com kneq0. Isso, pela definição de ordem em N, implica exatamente
a + c < b + c

Resposta

Foi demonstrado que para quaisquer a,b,cinN, se a<b então a+c<b+c.

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