Mostre que para quaisquer
são válidas as propriedades:
se
então
.
se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dados quaisquer
, a adição preserva a desigualdade, ou seja, que
O conteúdo aqui é a propriedade de monotonicidade da adição nos naturais, que se prova usando a definição de ordem em
e as leis de associatividade e comutatividade da soma.
Passo 2
Lembrando a definição de ordem em
: dizemos que
se, e somente se, existe algum
tal que
Passo 3
Partindo da hipótese
, pela definição existe
com
Passo 4
Agora somamos
a ambos os lados dessa igualdade:
Pela associatividade da adição temos
Passo 5
Como a adição é comutativa, podemos reordenar:
Logo
com
. Isso, pela definição de ordem em
, implica exatamente
Resposta
Foi demonstrado que para quaisquer
, se
então
.