Seja f(x)=-x^2+2 x, 0 <= x <= 2.
c) Determine a representação de f por uma série de senos (Série de Fourier em senos).
Fórmulas:
l integral0^L x sen n pi xL d x=-L^2n pi cos n pi e integral0^L x^2 sen n pi xL d x=-L^3n pi cos n pi+2 L^3n^3 pi^3(cos n pi-1) integral0^L x cos n pi xL d x=L^2n^2 pi^2(cos n pi-1) e integral0^L x^2 cos n pi xL d x=2 L^3n^2 pi^2 cos n pi

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a representação da função f(x) = -x^2 + 2x no intervalo de 0 a 2 usando uma série de senos, que é uma parte das Séries de Fourier. Para isso, vamos precisar entender como calcular os coeficientes da série de Fourier em senos e usar as integrais que o exercício já nos forneceu para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como construir uma Série de Fourier em senos. Uma função f(x) definida no intervalo [0, L] pode ser representada como uma soma infinita de senos:
f(x) = sumn=1^infty bn sin(npi xL)
Aqui, bn são os coeficientes que precisamos encontrar. Esses coeficientes são calculados usando a fórmula:
bn = 2L integral0^L f(x) sin(npi xL) dx
No nosso caso, L = 2 , então a fórmula fica:
bn = 22 integral0^2 f(x) sin(npi x2) dx = integral0^2 f(x) sin(npi x2) dx

Passo 3

Agora, vamos substituir f(x) = -x^2 + 2x na expressão do bn :
bn = integral0^2 (-x^2 + 2x) sin(npi x2) dx
Podemos separar essa integral em duas partes:
bn = -integral0^2 x^2 sin(npi x2) dx + 2 integral0^2 x sin(npi x2) dx

Passo 4

Agora, vamos usar as integrais que o exercício nos deu para resolver essas partes. Primeiro, identifique que L = 2 e substitua nas fórmulas:
Para a primeira integral:
integral0^2 x^2 sin(npi x2) dx = -2^3(npi)^3 cos(npi) + 2 cdot 2^3(npi)^3 (cos(npi) - 1)
Simplificando:
= -8n^3pi^3 cos(npi) + 16n^3pi^3 (cos(npi) - 1)
= 8n^3pi^3 (cos(npi) - 2)
Para a segunda integral:
integral0^2 x sin(npi x2) dx = -2^2npi cos(npi) = -4npi cos(npi)
Agora, substituindo de volta no bn :
bn = -( 8n^3pi^3 (cos(npi) - 2) ) + 2 ( -4npi cos(npi) )
= -8n^3pi^3 cos(npi) + 16n^3pi^3 + ( -8npi cos(npi) )

Passo 5

Vamos simplificar os termos:
Sabemos que cos(npi) = (-1)^n , então podemos substituir:
bn = -8 (-1)^nn^3pi^3 + 16n^3pi^3 - 8 (-1)^nnpi
= 16 - 8 (-1)^nn^3pi^3 - 8 (-1)^nnpi
Podemos fatorar o (-1)^n :
bn = 16n^3pi^3 - 8 (-1)^nn^3pi^3 - 8 (-1)^nnpi
= 16n^3pi^3 - 8 (-1)^n ( 1n^3pi^3 + 1npi )

Resposta

Então, a representação da função f(x) = -x^2 + 2x na série de Fourier em senos no intervalo [0, 2] é:
f(x) = sumn=1^infty ( 16n^3pi^3 - 8 (-1)^n ( 1n^3pi^3 + 1npi ) ) sin(npi x2)

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