Seja
.
c) Determine a representação de
por uma série de senos (Série de Fourier em senos).
Fórmulas:
c) Determine a representação de
Fórmulas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a representação da função
no intervalo de
a
usando uma série de senos, que é uma parte das Séries de Fourier. Para isso, vamos precisar entender como calcular os coeficientes da série de Fourier em senos e usar as integrais que o exercício já nos forneceu para facilitar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como construir uma Série de Fourier em senos. Uma função
definida no intervalo
pode ser representada como uma soma infinita de senos:
Aqui,
são os coeficientes que precisamos encontrar. Esses coeficientes são calculados usando a fórmula:
No nosso caso,
, então a fórmula fica:
Passo 3
Agora, vamos substituir
na expressão do
:
Podemos separar essa integral em duas partes:
Passo 4
Agora, vamos usar as integrais que o exercício nos deu para resolver essas partes. Primeiro, identifique que
e substitua nas fórmulas:
Para a primeira integral:
Simplificando:
Para a segunda integral:
Agora, substituindo de volta no
:
Passo 5
Vamos simplificar os termos:
Sabemos que
, então podemos substituir:
Podemos fatorar o
:
Resposta
Então, a representação da função
na série de Fourier em senos no intervalo
é: