Determine se existem ou não os limites:
lim (x, y) (0,0) x arctan (1x^2+2 y^2)

Passo 1

O enunciado pede o limite em (0,0) da função
f(x,y)=xarctan!l(tfrac1x^2+2y^2r)
O conteúdo principal aqui é reconhecer que arctan(u) é limitada por pi/2 e usar o Teorema do Aperto (Squeeze Theorem) para mostrar que f(x,y)to0.

Passo 2

Como para todo u>=0 vale
0<= arctan(u)<= pi2,
temos em particular, para u=tfrac1x^2+2y^2,
l|xarctanl(tfrac1x^2+2y^2r)r| <= |x|;pi2

Passo 3

Ao fazermos (x,y)to(0,0), |x|pi2to0. Pelo Teorema do Aperto segue que
lim(x,y)to(0,0)xarctan!l(tfrac1x^2+2y^2r)=0

Resposta

O limite existe e é igual a 0.

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