Mostre que para quaisquer a, b, c, d in N são válidas as propriedades:
se a c<b c e c neq 0 então a<b.

Passo 1

O enunciado pede para provar a cancelamento de produto em N: para quaisquer a,b,cinN, se cneq0 e
a,c < b,c
então
a < b
Vamos usar uma prova por contraposição e as propriedades de ordem e distributividade em N.

Passo 2

Em lógica, a implicação
P ;Longrightarrow; Q
é equivalente à contrapositiva
neg Q ;Longrightarrow; neg P
Aqui tomamos
P:;a,c < b,c, Q:;a < b
Então vamos mostrar que, se a>= b, então a,c >= b,c.

Passo 3

Suponha a>= b. Pela definição de ordem em N, existe kinN tal que
a = b + k

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por c (sabendo que cneq0 mas a multiplicação vale em qualquer caso), usamos a distributividade:
a,c = (b + k),c = b,c + k,c
Como kinN e cinN, o produto k,c também fica em N, logo
b,c ;+; k,c ;>=; b,c Longrightarrow a,c ;>=; b,c

Passo 5

Mostramos a contrapositiva:
a>= b ;Longrightarrow; a,c >= b,c
Portanto, se tivermos a,c < b,c, não pode ser a>= b, e só resta
a < b

Resposta

Está provado que, para quaisquer a,b,cinN com cneq0,
a,c < b,c Longrightarrow a < b

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