Mostre que para quaisquer
são válidas as propriedades:
se
e
então
.
se
Passo 1
O enunciado pede para provar a cancelamento de produto em
: para quaisquer
, se
e
então
Vamos usar uma prova por contraposição e as propriedades de ordem e distributividade em
.
Passo 2
Em lógica, a implicação
é equivalente à contrapositiva
Aqui tomamos
Então vamos mostrar que, se
, então
.
Passo 3
Suponha
. Pela definição de ordem em
, existe
tal que
Passo 4
Multiplicando ambos os lados por
(sabendo que
mas a multiplicação vale em qualquer caso), usamos a distributividade:
Como
e
, o produto
também fica em
, logo
Passo 5
Mostramos a contrapositiva:
Portanto, se tivermos
, não pode ser
, e só resta
Resposta
Está provado que, para quaisquer
com
,