Determine se existem ou não os limites:
lim (x, y) (0,0) x y^43 x^2+y^8

Passo 1

O enunciado pede para investigar a existência do limite
lim(x,y)to(0,0) x,y^43x^2+y^8
O conteúdo é limites de funções de duas variáveis e, para verificar existência, vamos usar o teste de dependência de trajetória: se ao longo de duas curvas de aproximação o limite for diferente, então o limite não existe.

Passo 2

Escolhemos a família de trajetórias definida por
x = t,y^4,
com parâmetro constante t. Note que quando yto0, temos xto0 e, portanto, (x,y)to(0,0). Substituindo na função:
x,y^43x^2+y^8 =(t,y^4),y^43(t,y^4)^2+y^8 =t,y^83t^2,y^8+y^8 =t3t^2+1
Como esse valor independe de y, o limite ao longo dessa trajetória vale
L(t)=t3t^2+1

Passo 3

O valor L(t) varia com t. Por exemplo, para t=0 temos L(0)=0, para t=1 temos L(1)=tfrac14 e para t=2 temos L(2)=tfrac213. Como surgem valores diferentes, o limite não pode ser único.

Resposta

O limite não existe.

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