Mostre que para quaisquer
são válidas as propriedades:
se
então
, onde
e
.
se
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos mostrar que, em
, a função “elevar ao quadrado” preserva desigualdades. Ou seja, se temos
então devemos provar
O que vamos usar:
– definição de em
(existe
tal que
);
– propriedades de comutatividade e distributividade da soma e multiplicação em ;
– fato de que todo número natural somado a outro continua maior ou igual ao primeiro.
– definição de
– propriedades de comutatividade e distributividade da soma e multiplicação em
– fato de que todo número natural somado a outro continua maior ou igual ao primeiro.
Passo 2
Pela definição de ordem em
,
significa que existe
com
Passo 3
Vamos calcular
usando
:
Pelo produto notável e distributividade temos
Como a multiplicação em
é comutativa,
. Logo
Passo 4
Observe que
e
são números naturais (pois produto e soma de naturais é natural). Assim
porque somar a
um número natural só pode aumentar ou deixar igual o resultado.
Resposta
Concluímos que, sempre que
em
, vale
como era para demonstrar.