Mostre que para quaisquer a, b, c, d in N são válidas as propriedades:
se a <= b então a^2 <= b^2, onde a^2=a a e b^2=b b.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos mostrar que, em N, a função “elevar ao quadrado” preserva desigualdades. Ou seja, se temos
a <= b,
então devemos provar
a^2 <= b^2
O que vamos usar:
– definição de a<= b em N (existe kinN tal que b=a+k);
– propriedades de comutatividade e distributividade da soma e multiplicação em N;
– fato de que todo número natural somado a outro continua maior ou igual ao primeiro.

Passo 2

Pela definição de ordem em N, a<= b significa que existe kinN com
b = a + k

Passo 3

Vamos calcular b^2 usando b=a+k:
b^2 = (a+k)^2
Pelo produto notável e distributividade temos
(a+k)^2 = (a+k)(a+k) = a(a+k) ;+; k(a+k) = a^2 + ak ;+; ka + k^2
Como a multiplicação em N é comutativa, ak = ka. Logo
b^2 = a^2 + 2,ak + k^2

Passo 4

Observe que 2,ak e k^2 são números naturais (pois produto e soma de naturais é natural). Assim
b^2 = a^2 + l(2,ak + k^2r) >= a^2,
porque somar a a^2 um número natural só pode aumentar ou deixar igual o resultado.

Resposta

Concluímos que, sempre que a<= b em N, vale
a^2 <= b^2,
como era para demonstrar.

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