Resolva as seguintes equações diferenciais usando substituições:
x y^prime-y=x^2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial x y' - y = x^2 usando substitições. O conteúdo é equação diferencial de primeira ordem, e vamos usar a técnica de substituição y = v x.

Passo 2

Fazemos a substituição y = v x, onde v depende de x. Derivando em relação a x, temos:
y' = v + x dvdx
Substituindo na equação original:
xl(v + xdvdxr) - v x = x^2

Passo 3

Simplificando, o termo x v cancela, resultando em:
x^2 dvdx = x^2
Dividindo ambos os lados por x^2 (assumindo xneq0), obtemos dvdx = 1. Integrando em relação a x:
v = x + C, onde C é constante de integração.

Passo 4

Voltando à variável original, temos y = v x = x(x + C), o que nos dá y = x^2 + C x.

Resposta

y = x^2 + C x

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