Determine, se existir, a equação do plano tangente ao gráfico da função z=f(x, y) nos pontos dados:
f(x, y)=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}} ; \quad P_{1}=(1 / 2,1 / 2, \sqrt{2} / 2)

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente à superfície definida por
z = f(x,y) = \sqrt{1 - x^2 - y^2}
no ponto P_1 = \bigl(\tfrac12,\tfrac12,\tfrac{\sqrt2}{2}\bigr).
Para isso, vamos usar o fato de que o plano tangente a uma superfície z=f(x,y) em (x_0,y_0,z_0) é dado por
z - z_0 = f_x(x_0,y_0)\,(x - x_0) + f_y(x_0,y_0)\,(y - y_0),
ou seja, precisamos calcular as derivadas parciais f_x e f_y e avaliá-las em P_1.

Passo 2

Calcular f_x e f_y por regra da cadeia. Temos
f(x,y) = (1 - x^2 - y^2)^{1/2}.
Logo,
f_x(x,y) = \frac12\,(1 - x^2 - y^2)^{-1/2}\,\bigl(-2x\bigr) = -\frac{x}{\sqrt{1 - x^2 - y^2}},
f_y(x,y) = -\frac{y}{\sqrt{1 - x^2 - y^2}}.

Passo 3

Avaliar em P_1, onde x_0=y_0=\tfrac12 e z_0=\tfrac{\sqrt2}{2}. Note que
\sqrt{1 - \Bigl(\tfrac12\Bigr)^2 - \Bigl(\tfrac12\Bigr)^2} = \sqrt{1 - \tfrac14 - \tfrac14} = \sqrt{\tfrac12} = \frac{\sqrt2}{2}.
Assim,
f_x\bigl(\tfrac12,\tfrac12\bigr) = -\frac{\tfrac12}{\tfrac{\sqrt2}{2}} = -\frac{1}{\sqrt2} = -\frac{\sqrt2}{2},
f_y\bigl(\tfrac12,\tfrac12\bigr) = -\frac{\sqrt2}{2}.

Passo 4

Substituindo na fórmula do plano tangente:
z - \frac{\sqrt2}{2} = -\frac{\sqrt2}{2}\,\Bigl(x - \frac12\Bigr) -\frac{\sqrt2}{2}\,\Bigl(y - \frac12\Bigr).

Passo 5

Podemos deixar a equação num formato mais simples. Expandindo os termos constantes:
z = \frac{\sqrt2}{2} -\frac{\sqrt2}{2}\,x + \frac{\sqrt2}{4} -\frac{\sqrt2}{2}\,y + \frac{\sqrt2}{4} = \sqrt2 \;-\;\frac{\sqrt2}{2}\,x\;-\;\frac{\sqrt2}{2}\,y.

Resposta

A equação do plano tangente é
\boxed{\,z = \sqrt2 \;-\;\frac{\sqrt2}{2}\,x\;-\;\frac{\sqrt2}{2}\,y\,}.

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