Determine, se existir, a inversa de cada matriz:
B=[lll1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1]

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz
B = 1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1
O conteúdo envolve inversão de matrizes triangulares e uso de séries de Neumann para matrizes do tipo I+N, onde N é estritamente triangular e nilpotente.

Passo 2

Primeiro verificamos que B é invertível checando seu determinante. Como B é triangular superior,
det(B)=1cdot1cdot1=1neq0,
logo B tem inversa.

Passo 3

Como B é triangular superior, sua inversa também será triangular superior. Além disso, escrevemos
B = I + N,
onde
N = B - I = 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0
é estritamente triangular superior. Note que N^3=0 (nilpotente de ordem 3).

Passo 4

Usamos a série de Neumann truncada para matrizes nilpotentes:
(I+N)^-1 = I - N + N^2
Calculamos
N^2 = 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 ^2 = 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0

Passo 5

Agora montamos
B^-1 = I - N + N^2 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 - 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 + 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 = 1 & -1 & 0 0 & 1 & -1 0 & 0 & 1

Resposta

B^-1 = 1 & -1 & 0 0 & 1 & -1 0 & 0 & 1

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