Sejam v=(2,-1,3) e w=(4,-1,2). Encontre dois vetores v1 e v2, com v=v1+v2, v1 é paralelo a w e v2 é perpendicular a w.

Passo 1

O enunciado pede para escrever o vetor v como soma de um componente paralelo a w (chamado v1) e de um componente perpendicular a w (chamado v2). O conteúdo da matéria é a decomposição de vetores usando projeção ortogonal.

Passo 2

Para achar v1 usamos a projeção de v sobre w, que é dada por
v1 = vcdotwwcdotw,w
Então precisamos de vcdotw e de wcdotw.

Passo 3

Calculando os produtos internos:
vcdotw = (2)(4) + (-1)(-1) + (3)(2) = 8 + 1 + 6 = 15,
wcdotw = 4^2 + (-1)^2 + 2^2 = 16 + 1 + 4 = 21

Passo 4

Substituindo na fórmula da projeção,
v1 = 1521,w = 57(4,,-1,,2) = l(tfrac207,,-tfrac57,,tfrac107r)

Passo 5

O componente perpendicular fica
v2 = v - v1 = (2,,-1,,3) - l(tfrac207,,-tfrac57,,tfrac107r) = l(2 - tfrac207,;-1 + tfrac57,;3 - tfrac107r) = l(-tfrac67,,-tfrac27,,tfrac117r)

Resposta

v1=l(tfrac207,-tfrac57,tfrac107r),
v2=l(-tfrac67,-tfrac27,tfrac117r).

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