Temos duas funções racionais de duas variáveis, definidas (onde o denominador não é zero) em vizinhanças de (0,0).
Para cada limite, precisamos decidir se o limite existe e, se existir, calcular o valor numérico.
Devemos considerar o comportamento da função ao nos aproximarmos de (0,0) por diferentes caminhos no plano.
Passo 2
Planejamento didático (sem resolver ainda): para testar existência de limite em \mathbb{R}^2 costuma-se:
Mostrar que o limite NÃO existe: encontrar duas curvas (por exemplo, retas y=mx) tal que as avaliações da função ao longo delas tendam a valores diferentes quando (x,y)\to(0,0). Se conseguirmos isso, concluímos que o limite não existe.
Mostrar que o limite existe: escolher uma técnica que dê um valor único independente do caminho — por exemplo passar para coordenadas polares (x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta) e verificar que a expressão tende a um mesmo número quando r\to0, ou usar desigualdades (teorema do aperto / comparação).
Vou aplicar essas ideias às duas expressões, explicando cada passo e por que funciona.
Passo 3
Vamos atacar L_1=\lim_{(x,y)\to(0,0)} \dfrac{2xy^{2}}{x^{3}+y^{3}}. Primeiro ideia simples e muito usada: aproximar por retas passando pela origem, isto é tomar y=mx com m constante real. A razão: se o limite existe e é L, então qualquer sequência (x_n,y_n)\to(0,0) deve produzir o mesmo limite L; em particular as sequências que vêm pela reta y=mx também devem dar L. Portanto, valores diferentes para retas diferentes provam que o limite não existe.
Passo 4
Substituímos y=mx em \dfrac{2xy^{2}}{x^{3}+y^{3}}. Fazendo passo a passo:
Como x\neq0 na substituição (estamos aproximando, não avaliando exatamente em (0,0)), podemos cancelar x^{3}, obtendo
\frac{2xy^{2}}{x^{3}+y^{3}}=\frac{2m^{2}}{1+m^{3}} \quad\text{quando } y=mx \text{ e } 1+m^{3}\neq0.
Passo 5
Agora analisamos o que acontece quando x\to0 ao longo da reta y=mx. A expressão acima não depende mais de x, depende só de m. Logo o limite ao longo dessa reta é
Escolhemos dois valores de m que dão resultados distintos para demonstrar a falta de existência do limite:
Se m=0 (reta y=0), o valor é \dfrac{2\cdot0^{2}}{1+0^{3}}=0.
Se m=1 (reta y=x), o valor é \dfrac{2\cdot1^{2}}{1+1^{3}}=\dfrac{2}{2}=1.
Como as aproximações pela reta y=0 e pela reta y=x dão limites diferentes (0 e 1), isso prova que o limite L_1 não existe.
Passo 6
Observação sobre a reta que faz o denominador zero: para m tal que 1+m^{3}=0 (por exemplo m=-1), a substituição direta anterior falha porque o denominador cancela. Isso apenas indica que ao longo exatamente da reta y=-x a expressão original pode não estar definida (de fato x^{3}+y^{3}=0 quando y=-x). Para a demonstração da não existência não precisamos analisar esse caso: já encontramos dois caminhos bem definidos que dão limites diferentes; portanto o limite geral não existe. Se você quiser, podemos investigar o comportamento aproximando pela reta y=-x mais um pequeno desvio, mas não é necessário para concluir.
Passo 7
Conclusão para o primeiro limite:
\boxed{\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{2xy^{2}}{x^{3}+y^{3}} \text{ não existe.}}
(A razão: aproximações por retas y=mx dão valores diferentes dependendo de m, por exemplo 0 e 1.)
Passo 8
Agora vamos para L_2=\lim_{(x,y)\to(0,0)} \dfrac{-x^{2}y}{2x^{2}+2y^{2}}. Aqui uma boa técnica é usar coordenadas polares porque o denominador e numerador envolvem somas de quadrados. Explico a ideia: em coordenadas polares definimos
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,
onde r\ge0 é a distância ao origem (ou seja r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}) e \theta é o ângulo. Quando (x,y)\to(0,0) isso equivale a r\to0 (o \theta pode variar). Se após substituir em coordenadas polares a expressão ficar como uma função de r multiplicada por alguma função limitada em \theta, muitas vezes conseguimos ver que o limite é 0 porque r\to0.
Como r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\to0 quando (x,y)\to(0,0), a desigualdade acima mostra que o valor absoluto da função tende a 0. Pelo teorema do aperto (squeeze theorem), isso implica que a própria expressão tende a 0 independentemente de \theta. Portanto o limite existe e é 0.