Seja f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{y^{4}+3 x^{2} y^{2}+2 y x^{3}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.. f(x, y) é contínua em (0,0) ?

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x,y)=\begin{cases} \displaystyle \frac{y^{4}+3x^{2}y^{2}+2yx^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}, & (x,y)\neq(0,0),\\[8pt] 0, & (x,y)=(0,0). \end{cases}
A pergunta é: a função f é contínua em (0,0)?\n
Informações relevantes fornecidas:
\begin{aligned} &\text{(i) A expressão de }f(x,y)\text{ quando }(x,y)\neq(0,0).\\\ &\text{(ii) O valor }f(0,0)=0. \end{aligned}ã]

Passo 2

Vou escolher mudar para coordenadas polares porque no numerador e no denominador aparecem somente potências de x e y combinadas em (x^{2}+y^{2}); isso costuma simplificar muito a expressão. Explico as coordenadas polares passo a passo:
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância ao origem e \theta é a direção (ângulo). Note que
r^{2}=x^{2}+y^{2}.
Quando (x,y)\to(0,0) isso é equivalente a r\to 0^{+} (o ângulo \theta pode variar).

Passo 3

Substituo termo a termo usando x=r\cos\theta e y=r\sin\theta.
Calculo cada parcela do numerador:
y^{4}=(r\sin\theta)^{4}=r^{4}\sin^{4}\theta,
3x^{2}y^{2}=3(r\cos\theta)^{2}(r\sin\theta)^{2}=3r^{4}\cos^{2}\theta\sin^{2}\theta,
2yx^{3}=2(r\sin\theta)(r\cos\theta)^{3}=2r^{4}\cos^{3}\theta\sin\theta.
Somando:
\text{numerador}=r^{4}\big(\sin^{4}\theta+3\cos^{2}\theta\sin^{2}\theta+2\cos^{3}\theta\sin\theta\big).
O denominador é
(x^{2}+y^{2})^{2}=(r^{2})^{2}=r^{4}.

Passo 4

Para (x,y)\neq(0,0) (isto é, r>0) a função fica
f(x,y)=\frac{r^{4}\big(\sin^{4}\theta+3\cos^{2}\theta\sin^{2}\theta+2\cos^{3}\theta\sin\theta\big)}{r^{4}}=\sin^{4}\theta+3\cos^{2}\theta\sin^{2}\theta+2\cos^{3}\theta\sin\theta.
Defino a função angular
g(\theta)=\sin^{4}\theta+3\cos^{2}\theta\sin^{2}\theta+2\cos^{3}\theta\sin\theta,
então para todo (x,y)\neq(0,0) temos f(x,y)=g(\theta). Ou seja, o valor de f perto da origem depende só da direção \theta, não do raio r.

Passo 5

Se f fosse contínua em (0,0), a limitação de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0) deveria existir e ser igual a f(0,0)=0. Como f(x,y)=g(\theta) para pontos próximos, isso exigiria que g(\theta)=0 para todo \theta.
Vamos verificar g em duas direções simples:
  • Direção do eixo x (tomando \theta=0):
\cos 0=1,\quad \sin 0=0 \quad\Rightarrow\quad g(0)=0+0+2\cdot 1^{3}\cdot 0=0.
  • Direção do eixo y (tomando \theta=\tfrac{\pi}{2}):
\cos \tfrac{\pi}{2}=0,\quad \sin \tfrac{\pi}{2}=1 \quad\Rightarrow\quad g\big(\tfrac{\pi}{2}\big)=1+0+0=1.
Obtivemos limites diferentes ao aproximar a origem por direções diferentes: ao longo do eixo x a função tende a 0, ao longo do eixo y tende a 1. Portanto o limite quando (x,y)\to(0,0) não existe.

Passo 6

Como o limite não existe, f não pode ser contínua em (0,0). Em palavras de amigo: a função “se comporta diferente” dependendo da direção por onde a gente chega à origem, então não tem como colar um único valor que funcione para todas as direções; por isso a continuidade falha.

Resposta

Não, f não é contínua em (0,0).

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