A pergunta é: a função f é contínua em (0,0)?\n
Informações relevantes fornecidas:
\begin{aligned} &\text{(i) A expressão de }f(x,y)\text{ quando }(x,y)\neq(0,0).\\\ &\text{(ii) O valor }f(0,0)=0. \end{aligned}ã]
Passo 2
Vou escolher mudar para coordenadas polares porque no numerador e no denominador aparecem somente potências de x e y combinadas em (x^{2}+y^{2}); isso costuma simplificar muito a expressão. Explico as coordenadas polares passo a passo:
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância ao origem e \theta é a direção (ângulo). Note que
r^{2}=x^{2}+y^{2}.
Quando (x,y)\to(0,0) isso é equivalente a r\to 0^{+} (o ângulo \theta pode variar).
Passo 3
Substituo termo a termo usando x=r\cos\theta e y=r\sin\theta.
então para todo (x,y)\neq(0,0) temos f(x,y)=g(\theta). Ou seja, o valor de f perto da origem depende só da direção \theta, não do raio r.
Passo 5
Se f fosse contínua em (0,0), a limitação de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0) deveria existir e ser igual a f(0,0)=0. Como f(x,y)=g(\theta) para pontos próximos, isso exigiria que g(\theta)=0 para todo \theta.
Obtivemos limites diferentes ao aproximar a origem por direções diferentes: ao longo do eixo x a função tende a 0, ao longo do eixo y tende a 1. Portanto o limite quando (x,y)\to(0,0) não existe.
Passo 6
Como o limite não existe, f não pode ser contínua em (0,0). Em palavras de amigo: a função “se comporta diferente” dependendo da direção por onde a gente chega à origem, então não tem como colar um único valor que funcione para todas as direções; por isso a continuidade falha.