Seja f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.. Mostre que f(x, y) é contínua em (0,0).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\begin{cases}\dfrac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}, & (x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & (x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede para mostrar que f(x,y) é contínua em (0,0).
Informações relevantes do enunciado:
  • Valor de f fora da origem: \dfrac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}} para (x,y)\neq(0,0).
  • Valor de f na origem: f(0,0)=0.
  • Objetivo: provar que o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0) é igual a f(0,0)=0, isto é, provar continuidade em (0,0).]

Passo 2

Lembrete (definição de continuidade numa linguagem prática): uma função f é contínua em (0,0) se
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=f(0,0).
Na prática, usando a definição epsilon‑delta: precisamos mostrar que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, se a distância do ponto (x,y) à origem for menor que \delta (isto é, \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta), então |f(x,y)-0|<\varepsilon. Vou provar exatamente isso.

Passo 3

Primeiro pegamos a expressão de f quando (x,y)\neq(0,0) e trabalhamos com o seu valor absoluto:
\left|f(x,y)\right|=\left|\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}\right|=\frac{|x|^{3}}{x^{2}+y^{2}}.
Observação útil: para qualquer (x,y) vale x^{2}+y^{2}\ge x^{2} porque y^{2}\ge0. Assim, para (x,y)\neq(0,0) (e também valendo trivialmente quando x=0),
\frac{|x|^{3}}{x^{2}+y^{2}}\le\frac{|x|^{3}}{x^{2}}=|x|.
Portanto chegamos à desigualdade
\left|f(x,y)\right|\le |x|\quad\text{para todo }(x,y)\neq(0,0).

Passo 4

Agora relacionamos |x| com a distância ao origem. Sempre vale
|x|=\sqrt{x^{2}}\le\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
A quantidade \sqrt{x^{2}+y^{2}} é precisamente a distância de (x,y) à origem. Combinando com a desigualdade do passo anterior obtemos
\left|f(x,y)\right|\le\sqrt{x^{2}+y^{2}}\quad\text{para todo }(x,y)\neq(0,0).
(E para (x,y)=(0,0) temos |f(0,0)|=0, então a desigualdade também é compatível com o ponto origem.)

Passo 5

Agora faço a prova epsilon‑delta formal usando a desigualdade do passo anterior. Seja \varepsilon>0 qualquer. Escolho
\delta=\varepsilon.
Se (x,y) satisfaz \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta, então pelas desigualdades acima
\left|f(x,y)-0\right|=\left|f(x,y)\right|\le\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta=\varepsilon.
Isso mostra que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 (escolhido igual a \varepsilon) tal que \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta implica |f(x,y)-0|<\varepsilon. Portanto
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0.

Passo 6

Como o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0) é 0 e f(0,0)=0, concluímos que f é contínua em (0,0).
(Uma observação alternativa, só para visualização: usando coordenadas polares x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, obtemos \left|f(r,\theta)\right|=r\,|\cos^{3}\theta|\le r, e como r\to0 implica r\,|\cos^{3}\theta|\to0, isso também mostra o mesmo resultado.)

Resposta

f é contínua em (0,0).

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