Seja f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.. Mostre que f(x, y) é contínua em (0,0).
e pede para mostrar que f(x,y) é contínua em (0,0).
Informações relevantes do enunciado:
Valor de f fora da origem: \dfrac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}} para (x,y)\neq(0,0).
Valor de f na origem: f(0,0)=0.
Objetivo: provar que o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0) é igual a f(0,0)=0, isto é, provar continuidade em (0,0).]
Passo 2
Lembrete (definição de continuidade numa linguagem prática): uma função f é contínua em (0,0) se
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=f(0,0).
Na prática, usando a definição epsilon‑delta: precisamos mostrar que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, se a distância do ponto (x,y) à origem for menor que \delta (isto é, \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta), então |f(x,y)-0|<\varepsilon. Vou provar exatamente isso.
Passo 3
Primeiro pegamos a expressão de f quando (x,y)\neq(0,0) e trabalhamos com o seu valor absoluto:
Observação útil: para qualquer (x,y) vale x^{2}+y^{2}\ge x^{2} porque y^{2}\ge0. Assim, para (x,y)\neq(0,0) (e também valendo trivialmente quando x=0),
Isso mostra que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 (escolhido igual a \varepsilon) tal que \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta implica |f(x,y)-0|<\varepsilon. Portanto
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0.
Passo 6
Como o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0) é 0 e f(0,0)=0, concluímos que f é contínua em (0,0).
(Uma observação alternativa, só para visualização: usando coordenadas polares x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, obtemos \left|f(r,\theta)\right|=r\,|\cos^{3}\theta|\le r, e como r\to0 implica r\,|\cos^{3}\theta|\to0, isso também mostra o mesmo resultado.)