Determine, se existir, um limitante inferior e um limitante superior para as seguintes sequências:
(d) n^2 sen^2(n pi2)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência n^2 sin^2(n pi2) e precisamos descobrir se existe um limitante inferior e um limitante superior para ela. Isso está relacionado ao conteúdo de Análise de Sequências, especialmente sobre os limites inferiores e superiores.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o termo sin(n pi2). Sabemos que o seno de ângulos múltiplos de pi2 tem valores específicos:
  • Para n = 1: sin(pi2) = 1
  • Para n = 2: sin(pi) = 0
  • Para n = 3: sin(3pi2) = -1
  • Para n = 4: sin(2pi) = 0
E esse padrão se repete a cada 4 termos.

Passo 3

Agora, elevando ao quadrado, temos sin^2(n pi2). Vamos ver os valores:
  • Para n = 1: 1^2 = 1
  • Para n = 2: 0^2 = 0
  • Para n = 3: (-1)^2 = 1
  • Para n = 4: 0^2 = 0
Então, a sequência sin^2(n pi2) alterna entre 1 e 0.

Passo 4

Multiplicando por n^2, a sequência fica:
n^2 sin^2(n pi2) = n^2, 0, n^2, 0, n^2, 0, dots
Ou seja, para termos ímpares, temos n^2 e, para pares, 0.

Passo 5

Agora, vamos pensar nos limitantes:
  • Limitante Inferior: É o menor valor que a sequência atinge ou se aproxima. Aqui, sempre temos termos iguais a 0, então o limitante inferior é 0.
  • Limitante Superior: É o maior valor que a sequência atinge ou se aproxima. Como n^2 cresce sem limites conforme n aumenta, não há um número real que limite superiormente a sequência. Então, o limitante superior é infinito ( +infty).

Resposta

O limitante inferior da sequência é 0 e o limitante superior é +infty.

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