Determine, se existir, um limitante inferior e um limitante superior para as seguintes sequências:
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência
e precisamos descobrir se existe um limitante inferior e um limitante superior para ela. Isso está relacionado ao conteúdo de Análise de Sequências, especialmente sobre os limites inferiores e superiores.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o termo
. Sabemos que o seno de ângulos múltiplos de
tem valores específicos:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
E esse padrão se repete a cada 4 termos.
Passo 3
Agora, elevando ao quadrado, temos
. Vamos ver os valores:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
Então, a sequência
alterna entre 1 e 0.
Passo 4
Multiplicando por
, a sequência fica:
Ou seja, para termos ímpares, temos
e, para pares, 0.
Passo 5
Agora, vamos pensar nos limitantes:
-
Limitante Inferior: É o menor valor que a sequência atinge ou se aproxima. Aqui, sempre temos termos iguais a 0, então o limitante inferior é 0.
-
Limitante Superior: É o maior valor que a sequência atinge ou se aproxima. Como
cresce sem limites conforme aumenta, não há um número real que limite superiormente a sequência. Então, o limitante superior é infinito ( ).
Resposta
O limitante inferior da sequência é
e o limitante superior é
.