Determine, se existir, um limitante inferior e um limitante superior para as seguintes sequencias:
Passo 1
O enunciado pede para achar um limitante inferior (infimum) e um limitante superior (supremum) da sequência
. Vamos usar as definições de majorante (upper bound) e minorante (lower bound): um valor
é majorante se
para todo
, e o supremo é o menor dos majorantes; analogamente,
é minorante se
para todo
, e o ínfimo é o maior dos minorantes.
Passo 2
Observando os termos da sequência, para
par temos
e para
ímpar temos
. Logo o conjunto de valores que a sequência assume é
.
Passo 3
Para o limitante superior, qualquer majorante deve ser maior ou igual a todos os termos. Como o maior elemento do conjunto
é
e não existe majorante menor que
, concluímos que o supremo (limitante superior) é
.
Passo 4
Para o limitante inferior, qualquer minorante deve ser menor ou igual a todos os termos. Como o menor elemento do conjunto
é
e não existe minorante maior que
, concluímos que o ínfimo (limitante inferior) é
.
Resposta
O limitante superior é 1 e o limitante inferior é -1.