Determine se existir o limite das funções vetoriais a seguir:
lim t 2 r(t)=((2+t^3) i+t e^-t j+sen(t)t k)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma função vetorial r(t) e precisa determinar se o limite dessa função existe quando t se aproxima de 2. O conteúdo aqui envolve limites de funções vetoriais, e para resolver isso, vamos precisar analisar o limite de cada componente dessa função separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que uma função vetorial como r(t) é composta por várias funções escalares nas direções i, j e k. Para encontrar o limite da função vetorial, a gente precisa encontrar o limite de cada uma dessas componentes individualmente.

Passo 3

Vamos começar com a primeira componente da função, que está na direção i: 2 + t^3.
A teoria que vamos aplicar aqui é que o limite de uma soma é a soma dos limites, e o limite de uma potência é a potência do limite, desde que o limite exista. Então,
lim t 2 (2 + t^3) = 2 + lim t 2 t^3 = 2 + 2^3 = 2 + 8 = 10

Passo 4

Agora, vamos para a segunda componente, que está na direção j: t e^-t.
Aqui, usamos a propriedade de que o limite do produto é o produto dos limites, desde que ambos existam. Sabemos que:
lim t 2 t = 2
e
lim t 2 e^-t = e^-2
Então,
lim t 2 t e^-t = 2 cdot e^-2

Passo 5

Por último, vamos analisar a terceira componente, na direção k: sin(t)t.
Aqui, usamos uma regra conhecida de limites:
lim t a sin(t)t = sin(a)a
desde que a neq 0. Então,
lim t 2 sin(t)t = sin(2)2

Resposta

Juntando os limites das três componentes, temos:
lim t 2 r(t) = (10) i + (2 e^-2) j + (sin(2)2) k

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