Determine se existir o limite das funções vetoriais a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma função vetorial
e precisa determinar se o limite dessa função existe quando
se aproxima de 2. O conteúdo aqui envolve limites de funções vetoriais, e para resolver isso, vamos precisar analisar o limite de cada componente dessa função separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que uma função vetorial como
é composta por várias funções escalares nas direções
,
e
. Para encontrar o limite da função vetorial, a gente precisa encontrar o limite de cada uma dessas componentes individualmente.
Passo 3
Vamos começar com a primeira componente da função, que está na direção
:
.
A teoria que vamos aplicar aqui é que o limite de uma soma é a soma dos limites, e o limite de uma potência é a potência do limite, desde que o limite exista. Então,
Passo 4
Agora, vamos para a segunda componente, que está na direção
:
.
Aqui, usamos a propriedade de que o limite do produto é o produto dos limites, desde que ambos existam. Sabemos que:
e
Então,
Passo 5
Por último, vamos analisar a terceira componente, na direção
:
.
Aqui, usamos uma regra conhecida de limites:
desde que
. Então,
Resposta
Juntando os limites das três componentes, temos: