Determine se existir o limite das funções vetoriais a seguir:
lim t 0 r(t)=(sen(t)t, 1-cos (t)t+|t|t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente descobrir se existe o limite da função vetorial dada por:
lim t 0 r(t)=(sin(t)t, 1-cos(t)t+|t|t)
Aqui, estamos trabalhando com limites de funções vetoriais, que envolve calcular o limite de cada componente do vetor separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a primeira componente da função vetorial:
sin(t)t
Sabemos que:
limt to 0 sin(t)t = 1
Esse é um limite bem conhecido na matemática e é uma das bases do cálculo.

Passo 3

Agora, vamos para a segunda componente:
1 - cos(t)t + |t|t
Vamos dividir isso em duas partes:
  1. Primeira parte: 1 - cos(t)t
  2. Segunda parte: |t|t

Passo 4

Vamos começar com a primeira parte:
limt to 0 1 - cos(t)t
Sabemos que, próximo de zero, cos(t) pode ser aproximado por 1 - t^22. Substituindo isso, temos:
1 - (1 - t^22)t = t^22t = t2
Então,
limt to 0 1 - cos(t)t = 0

Passo 5

Agora, vamos para a segunda parte:
limt to 0 |t|t
Aqui, precisamos analisar o comportamento de t quando se aproxima de zero pela direita ( t to 0^+) e pela esquerda ( t to 0^-):
  • Quando t to 0^+: |t| = t, então |t|t = 1
  • **Quando t to 0^-:** |t| = -t , então ã\frac{|t|}{t} = -1$
Já que os limites pela direita e pela esquerda são diferentes, o limite geral não existe.

Passo 6

Voltando à segunda componente completa:
limt to 0 ( 1 - cos(t)t + |t|t ) = 0 + (não existe) ã
Como uma das partes não existe, o limite da segunda componente também não existe.

Resposta

Como o limite da segunda componente não existe, o limite da função vetorial r(t) quando t tende a zero não existe.

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