Determine se existir o limite das funções vetoriais a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente descobrir se existe o limite da função vetorial dada por:
Aqui, estamos trabalhando com limites de funções vetoriais, que envolve calcular o limite de cada componente do vetor separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a primeira componente da função vetorial:
Sabemos que:
Esse é um limite bem conhecido na matemática e é uma das bases do cálculo.
Passo 3
Agora, vamos para a segunda componente:
Vamos dividir isso em duas partes:
- Primeira parte:
- Segunda parte:
Passo 4
Vamos começar com a primeira parte:
Sabemos que, próximo de zero,
pode ser aproximado por
. Substituindo isso, temos:
Então,
Passo 5
Agora, vamos para a segunda parte:
Aqui, precisamos analisar o comportamento de
quando se aproxima de zero pela direita (
) e pela esquerda (
):
- Quando
: , então - **Quando
|t| = -t \frac{|t|}{t} = -1$
Já que os limites pela direita e pela esquerda são diferentes, o limite geral não existe.
Passo 6
Voltando à segunda componente completa:
Como uma das partes não existe, o limite da segunda componente também não existe.
Resposta
Como o limite da segunda componente não existe, o limite da função vetorial
quando
tende a zero não existe.