• Questão 12. Calcule f^prime(x) e f^prime(p) onde
    f(x)=sen x cos xx^7 e p=pi

Passo 1

Resumo do enunciado: temos
f(x)=sin x;cos xx^7
e queremos calcular f'(x) e f'(p) com p=pi.
Conteúdo da matéria: diferenciação de funções, em especial
  • regra do produto
  • derivadas de funções trigonométricas ( sin x,cos x)
  • regra de potência ( x^n)
    O que vamos precisar:
  1. ddx(sin x)=cos x
  2. ddx(cos x)=-sin x
  3. ddx(x^n)=n,x^n-1
  4. regra do produto: (ucdot v)'=u'v+u,v'

Passo 2

Reescrevo a função como produto de duas partes:
f(x)=l(sin xcos xr),l(x^-7r)
Chamo
u(x)=sin xcos x, v(x)=x^-7
Agora calculo u'(x) e v'(x):
  1. Para u(x)=sin xcos x, uso regra do produto de novo:
u'(x) =(sin x)'cos x+sin x;(cos x)' =cos xcos x+sin x;(-sin x) =cos^2x-sin^2x
  1. Para v(x)=x^-7, uso regra de potência:
v'(x)=-7,x^-8

Passo 3

Aplico a regra do produto em f(x)=u(x)v(x):
f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x)
Substituindo:
f'(x) =(cos^2x-sin^2x),x^-7 +l(sin xcos xr),(-7x^-8)
Separando frações:
f'(x) =cos^2x-sin^2xx^7 -7,sin xcos xx^8

Passo 4

Queremos f'(p) com p=pi, ou seja f'(pi).
Sabendo que sinpi=0 e cospi=-1, temos
f'(pi) =cos^2pi-sin^2pipi^7 -7,sinpicospipi^8 =(-1)^2-0^2pi^7-0 =1pi^7

Resposta

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