Determine se existir o limite das funções vetoriais a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se existe o limite da função vetorial
quando
tende ao infinito. A função vetorial está definida por três componentes:
Para resolver isso, vamos analisar o limite de cada componente separadamente. Assim, precisamos entender como calcular limites de funções racionais e exponenciais quando
vai para o infinito.
Passo 2
Vamos começar examinando a primeira componente da nossa função vetorial:
Aqui, temos uma função racional, ou seja, uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Quando lidamos com limites de funções racionais no infinito, comparamos os termos de maior grau no numerador e no denominador.
Passo 3
Para a primeira componente:
Observamos que os termos de maior grau no numerador e no denominador são
e
, respectivamente. Podemos dividir todos os termos pelo maior poder de
, que é
:
Então, o limite da primeira componente é 2.
Passo 4
Agora, vamos para a segunda componente:
Essa também é uma função racional. Para encontrar o limite quando
tende ao infinito, podemos dividir numerador e denominador por
:
Portanto, o limite da segunda componente é 1.
Passo 5
Por último, analisamos a terceira componente:
Essa é uma função exponencial. Sabemos que
representa
, e conforme
cresce,
cresce muito rápido, fazendo com que
se aproxime de 0.
Então, o limite da terceira componente é 0.
Resposta
O limite da função vetorial
quando
tende ao infinito é: