Determine se existir o limite das funções vetoriais a seguir:
lim t infty r(t)=(2 t^2+1t^2-1, tt+1, e^-t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se existe o limite da função vetorial r(t) quando t tende ao infinito. A função vetorial está definida por três componentes:
r(t) = (2 t^2+1t^2-1, tt+1, e^-t)
Para resolver isso, vamos analisar o limite de cada componente separadamente. Assim, precisamos entender como calcular limites de funções racionais e exponenciais quando t vai para o infinito.

Passo 2

Vamos começar examinando a primeira componente da nossa função vetorial:
2 t^2+1t^2-1
Aqui, temos uma função racional, ou seja, uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Quando lidamos com limites de funções racionais no infinito, comparamos os termos de maior grau no numerador e no denominador.

Passo 3

Para a primeira componente:
limt to infty 2 t^2+1t^2-1
Observamos que os termos de maior grau no numerador e no denominador são 2t^2 e t^2, respectivamente. Podemos dividir todos os termos pelo maior poder de t, que é t^2:
limt to infty 2 + 1t^21 - 1t^2 = 2 + 01 - 0 = 2
Então, o limite da primeira componente é 2.

Passo 4

Agora, vamos para a segunda componente:
tt+1
Essa também é uma função racional. Para encontrar o limite quando t tende ao infinito, podemos dividir numerador e denominador por t:
limt to infty 11 + 1t = 11 + 0 = 1
Portanto, o limite da segunda componente é 1.

Passo 5

Por último, analisamos a terceira componente:
e^-t
Essa é uma função exponencial. Sabemos que e^-t representa 1/e^t, e conforme t cresce, e^t cresce muito rápido, fazendo com que e^-t se aproxime de 0.
limt to infty e^-t = 0
Então, o limite da terceira componente é 0.

Resposta

O limite da função vetorial r(t) quando t tende ao infinito é:
limt to infty r(t) = (2, 1, 0)

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