Encontre os valores de
para os quais a série converge. Calcule a soma da série para esses valores de
.
Passo 1
O enunciado nos dá a série infinita
e pede (1) para quais valores de
ela converge e (2) a soma quando ela converge. O conteúdo aqui é série geométrica, cujo critério de convergência e soma são padrão.
Passo 2
Note que
ou seja, é uma série geométrica de razão
e termo inicial
. Para uma série geométrica
convergir, é necessário e suficiente que
.
Passo 3
Aplicando o critério
ao nosso caso, temos
Logo, a série converge se, e somente se,
Passo 4
Quando
, a soma da série geométrica é
Substituindo
, obtemos
Resposta
A série converge para
e, nesse intervalo,