Encontre os valores de x para os quais a série converge. Calcule a soma da série para esses valores de x.
sumn=0^infty 3^n x^n

Passo 1

O enunciado nos dá a série infinita
sumn=0^infty3^nx^n
e pede (1) para quais valores de x ela converge e (2) a soma quando ela converge. O conteúdo aqui é série geométrica, cujo critério de convergência e soma são padrão.

Passo 2

Note que
3^nx^n=(3x)^n,
ou seja, é uma série geométrica de razão r=3x e termo inicial a=(3x)^0=1. Para uma série geométrica sumn=0^inftyr^n convergir, é necessário e suficiente que lvert rrvert<1.

Passo 3

Aplicando o critério lvert rrvert<1 ao nosso caso, temos
lvert 3xrvert<1 Longrightarrow lvert xrvert<tfrac13
Logo, a série converge se, e somente se,
-,tfrac13<x<tfrac13

Passo 4

Quando lvert rrvert<1, a soma da série geométrica é
sumn=0^inftyr^n=11-r
Substituindo r=3x, obtemos
sumn=0^infty3^nx^n =11-3x

Resposta

A série converge para lvert xrvert<tfrac13 e, nesse intervalo,
sumn=0^infty3^nx^n=11-3x

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