Determine, se existir, uma matriz
invertível tal que
seja diagonal para cada uma das seguintes matrizes:
.
Passo 1
O enunciado pede para diagonalizar a matriz
isto é, encontrar uma matriz invertível
tal que
seja diagonal. O conteúdo necessário é o de diagonalização por autovalores e autovetores de matrizes
.]
Passo 2
Calculemos o polinômio característico de
:
As raízes são
Passo 3
Supondo
, os autovalores
e
são distintos, logo há uma base de autovetores.
Para resolvemos
Para
que dá
. Podemos escolher
Para
resolvemos
que dá
. Podemos escolher
Formando
vemos que
(em característica não
), logo
é invertível e diagonaliza
:
Passo 4
No caso
temos
, que já é diagonal. Qualquer
invertível satisfaz
e a diagonalização é trivial com valor próprio único
.
Resposta
Para
uma escolha natural é
Para
,
já é diagonal.]