Determine, se existir, uma matriz P invertível tal que P^-1 A P seja diagonal para cada uma das seguintes matrizes:
A=(ll1 & a a & 1), com a in K.

Passo 1

O enunciado pede para diagonalizar a matriz
A=1 & a[6pt]a & 1,
isto é, encontrar uma matriz invertível P tal que
P^-1AP
seja diagonal. O conteúdo necessário é o de diagonalização por autovalores e autovetores de matrizes 2times2.]

Passo 2

Calculemos o polinômio característico de A:
det(A-lambda I) =det1-lambda & a[4pt]a & 1-lambda =(1-lambda)^2 - a^2 =lambda^2-2lambda+1-a^2
As raízes são
lambda1,2 =2pmraiz4-4(1-a^2)2 =2pm 2a2 =1pm a ]

Passo 3

Supondo , os autovalores e são distintos, logo há uma base de autovetores.
Para resolvemos
que dá . Podemos escolher
Para resolvemos
que dá . Podemos escolher
Formando
vemos que (em característica não ), logo é invertível e diagonaliza :
]

Passo 4

No caso a=0 temos A=I, que já é diagonal. Qualquer P invertível satisfaz
P^-1IP=I
e a diagonalização é trivial com valor próprio único 1.

Resposta

Para aneq0 uma escolha natural é
P=1 & 1[4pt]1 & -1, P^-1AP=1+a&0[4pt]0&1-a
Para a=0, A=I já é diagonal.]

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