Exercício 7.4. Encontre a solução de cada PVI:
\left{ \begin{array}{l}y^{(3)}-2 y^{\prime}=4 t \\ y(0)=y^{\prime}(0)=0, y^{\prime \prime}(0)=4 .\end{array}\right.

Passo 1

O problema pede a solução do PVI
y''' - 2y' = 4t, \qquad y(0)=0,\;y'(0)=0,\;y''(0)=4.
Este é um EDO linear de ordem 3 com coeficientes constantes e termo não-homogêneo 4t. Vamos obter a solução geral como
y(t) = y_h(t) + y_p(t),
onde y_h é a solução da equação homogênea associada e y_p é uma particular qualquer, e depois ajustar as constantes pelos valores iniciais.

Passo 2

Encontramos y_h via equação característica
r^3 - 2r = 0 \quad\Longrightarrow\quad r(r^2 - 2)=0 \quad\Longrightarrow\quad r=0,\;\pm\sqrt{2}.
Logo
y_h(t) = C_1 + C_2 e^{\sqrt{2}\,t} + C_3 e^{-\sqrt{2}\,t}.

Passo 3

Buscamos uma solução particular do tipo polinomial de grau 2,
y_p(t) = a\,t^2 + b\,t + c.
Calculando
y_p' = 2a\,t + b, \quad y_p'' = 2a, \quad y_p'''=0,
substituindo em y'''-2y'=4t
0 - 2(2a\,t + b) =4t \quad\Longrightarrow\quad -4a\,t -2b = 4t.
Igualando coeficientes em t resulta
-4a = 4\\ \Rightarrow\\ a=-1, \qquad -2b = 0\\ \Rightarrow\\ b=0.
Podemos tomar c=0. Logo
y_p(t) = -\,t^2.

Passo 4

A solução geral do PVI é
y(t) = C_1 + C_2 e^{\sqrt{2}\,t} + C_3 e^{-\sqrt{2}\,t} - t^2.

Passo 5

Calculamos as derivadas e aplicamos as condições iniciais:
y'(t) = C_2\sqrt{2}\,e^{\sqrt{2}t} - C_3\sqrt{2}\,e^{-\sqrt{2}t} - 2t,
y''(t) = 2C_2\,e^{\sqrt{2}t} + 2C_3\,e^{-\sqrt{2}t} - 2.
Em t=0:
y(0)=C_1 + C_2 + C_3 = 0,
y'(0)=\sqrt{2}\,(C_2 - C_3)=0 \\ \Rightarrow\\ C_2=C_3,
y''(0)=2(C_2 + C_3)-2=4 \\ \Rightarrow\\\ 2\cdot2C_2 -2 =4 \\ \Rightarrow\\\ 4C_2=6 \\ \Rightarrow\\ C_2=\tfrac{3}{2},\\ C_3=\tfrac{3}{2}.
Então C_1 = - (C_2+C_3) = -3.

Resposta

y(t) = -3 + \tfrac{3}{2}e^{\sqrt{2}\,t} + \tfrac{3}{2}e^{-\sqrt{2}\,t} - t^2 \quad\text{ou}\quad y(t)=3\operatorname{cosh}\bigl(\sqrt{2}t\bigr)-3 - t^2.

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