Determine, se existir, o ponto de interseção das retas dadas.
x-2=-1-y3=-z-12 e r2: x-32=1-y=z-32

Passo 1

O enunciado dá duas retas em R^3 e pede seu ponto de interseção, se existir. O conteúdo aqui é parâmetrização de retas a partir das formas simétricas e a resolução de um sistema linear de três equações para encontrar parâmetros que tornam iguais as coordenadas.

Passo 2

Parametrizando a primeira reta r1 por um parâmetro t:
t = x - 2 = -1 - y3 = -z - 12
x = 2 + t, y = -1 - 3t, z = -1 - 2t
Parametrizando a segunda reta r2 por um parâmetro s:
s = x - 32 = 1 - y = z - 32
x = 3 + 2s, y = 1 - s, z = 3 + 2s

Passo 3

Para haver interseção, devem existir t e s tais que
2 + t = 3 + 2s,
-1 - 3t = 1 - s,
-1 - 2t = 3 + 2s

Passo 4

Da primeira equação segue
t = 2s + 1
Substituindo na terceira equação:
-1 - 2(2s + 1) = 3 + 2s Longrightarrow -1 - 4s - 2 = 3 + 2s Longrightarrow -4s - 3 = 3 + 2s
Longrightarrow -6s = 6 Longrightarrow s = -1,
t = 2(-1) + 1 = -1
Verificando na segunda equação:
-1 - 3(-1) = 2 e 1 - (-1) = 2,
confirma-se consistência.

Passo 5

Para t = -1, as coordenadas de interseção em r1 são
x = 2 + (-1) = 1, y = -1 - 3(-1) = 2, z = -1 - 2(-1) = 1

Resposta

O ponto de interseção é (1,2,1).

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