Estabeleça a equação reduzida dos planos nos seguintes casos:
determinado pelo ponto P(1,2,1) e pela reta de interseção dos planos
pi1: x-2 y+z-3=0 e pi2: x=0

Passo 1

O enunciado pede o plano que (1) passa pelo ponto P(1,2,1) e (2) contém a reta de interseção dos planos
pi1: x - 2y + z - 3 = 0
e
pi2: x = 0.
Conteúdo: para achar o plano que contém a reta de interseção de pi1 e pi2, usamos a família de planos
pi(lambda)colon pi1 + lambda,pi2=0,
e depois determinamos lambda impondo que P pertença a pi(lambda).

Passo 2

Escrevemos a família de planos contendo a reta de interseção:
l(x - 2y + z - 3r) + lambda,(x) = 0 Longrightarrow (1+lambda),x ;-;2y ;+;z ;-;3 = 0

Passo 3

Impondo que P(1,2,1) satisfaça esta equação, substituímos x=1, y=2, z=1:
(1+lambda)cdot 1 ;-;2cdot 2 ;+;1 ;-;3 = 0 Longrightarrow 1+lambda -4 +1 -3 = 0 Longrightarrow lambda = 5

Passo 4

Substituindo lambda=5 na equação da família, obtemos
(1+5)x - 2y + z - 3 = 0 Longrightarrow 6x - 2y + z - 3 = 0

Resposta

A equação do plano procurado é
6x - 2y + z - 3 = 0

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