Determine, se existir, o ponto de interseção das retas dadas.
lx=t y=2 t z=-3+t a lx=3+s y=1-3 s z=s

Passo 1

O enunciado nos dá duas retas em forma paramétrica:
x = t, y = 2t, z = -3 + t
e
x = 3 + s, y = 1 - 3s, z = s
Queremos determinar, se existir, um par de parâmetros (t,s) que faça as coordenadas coincidirem. O conteúdo usado será a resolução de um sistema linear para igualar as componentes.

Passo 2

Para que haja interseção, devemos ter simultaneamente
t = 3 + s, 2t = 1 - 3s, -3 + t = s
Isso gera um sistema de três equações lineares em duas incógnitas (t,s).

Passo 3

Da primeira equação segue
t = 3 + s
Substituindo em 2t = 1 - 3s temos
2(3 + s) = 1 - 3s Longrightarrow 6 + 2s = 1 - 3s Longrightarrow 5s = -5 Longrightarrow s = -1
Então t = 3 + (-1) = 2.

Passo 4

Com t=2 e s=-1 obtemos as coordenadas do ponto comum na primeira reta:
x = t = 2, y = 2t = 4, z = -3 + t = -1
E verificamos que na segunda reta x=3+s=2, y=1-3s=4 e z=s=-1. Logo as duas retas se interceptam nesse ponto.

Resposta

(2,4,-1)

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