(9) Determine, se existir, os seguintes limites:

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limato -2raiza(a-1).
O conteúdo envolvido é limite de função composta e uso de continuidade de polinômio e da raiz quadrada.

Passo 2

Para existir valor real de raiza(a-1), precisamos ter
a(a-1)>= 0
As raízes da expressão a(a-1) são a=0 e a=1.
  • Se a<0, então a<0 e a-1<0, logo a(a-1)>0.
  • Se 0<a<1, um fator é positivo e o outro negativo, dando a(a-1)<0.
  • Se a>1, ambos fatores são positivos, logo a(a-1)>0.
    Portanto, o domínio real de raiza(a-1) é
(-infty,0];cup;[1,infty)
Como -2in(-infty,0], a função está definida num entorno de -2.

Passo 3

O polinômio a(a-1) é contínuo em todo R e a função raizx é contínua em [0,infty).
Logo, a composição
f(a)=raiza(a-1)
é contínua em qualquer ponto do domínio, em particular em a=-2.

Passo 4

Pela continuidade de f em a=-2, o limite é o valor de f nesse ponto:
limato -2raiza(a-1) =raiz(-2)l((-2)-1r) =raiz(-2)cdot(-3) =raiz6

Resposta

raiz6

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