Resolver as inequações em R.
|3-2 x1+x| <= 4

Passo 1

Temos a inequação |tfrac3-2x1+x|<=4. O conteúdo é inequação com valor absoluto envolvendo função racional. Precisamos determinar o domínio (denominador não nulo) e depois tratar o valor absoluto adequadamente.

Passo 2

O denominador não pode ser zero, então 1+xneq0, isto é, xneq-1.

Passo 3

Para resolver l|Ar|<=4, devemos ter -4<= A<=4. No entanto, como A=tfrac3-2x1+x é uma fração, vamos dividir em dois casos conforme o sinal de 1+x.

Passo 4

Caso 1: 1+x>0 (isto é, x>-1). Nesse caso multiplicamos a desigualdade por 1+x>0 sem inverter o sinal e obtemos
l|3-2xr|<=4(1+x)
Subcaso 1.1: 3-2x>=0 (ou seja, x<=tfrac32). Aqui temos
3-2x<=4(1+x)implies3-2x<=4+4ximplies-6x<=1implies x>=-tfrac16
Fazendo a interseção com x>-1 e x<=tfrac32, resulta xin[-tfrac16,tfrac32].
Subcaso 1.2: 3-2x<0 (isto é, x>tfrac32). Então
-(3-2x)<=4(1+x)implies-3+2x<=4+4ximplies-2x<=7implies x>=-tfrac72
Como x>tfrac32 implica automaticamente x>=-tfrac72, toda a região x>tfrac32 é solução neste subcaso.
Concluindo o caso 1: em x>-1 a solução é
xin[-tfrac16,infty)

Passo 5

Caso 2: 1+x<0 (ou seja, x<-1). Agora |1+x|=-(1+x) é positivo, e multiplicamos a inequação original por 1+x<0 invertendo sinais, o que dá
l|3-2xr|<=-4(1+x)
Subcaso 2.1: 3-2x>=0 (sempre válido em x<-1). Resolvemos
3-2x<=-4-4ximplies2x<=-7implies x<=-tfrac72
Esse conjunto já está dentro de x<-1.
Subcaso 2.2: 3-2x<0 (isto é, x>tfrac32), não há interseção com x<-1, logo não acrescenta soluções.
Concluindo o caso 2: em x<-1 a solução é
xin(-infty,-tfrac72]

Passo 6

Fazendo a união das soluções dos dois casos e lembrando que xneq-1 já está excluído, obtemos

Resposta

(-infty,-tfrac72],cup,[-tfrac16,infty)

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