(9) Determine, se existir, os seguintes limites:
(lim _{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{2}}{x-2}\

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto2raiz[4]x-raiz[4]2x-2. O conteúdo envolvido é limites de funções que geram forma 0/0 e podemos usar a técnica de racionalização de raízes ou reconhecer a derivada de f(x)=x^1/4 em x=2.

Passo 2

Vamos usar racionalização: note que, para a=raiz[4]x e b=raiz[4]2, vale a identidade
(a-b)l(a^3+a^2b+ab^2+b^3r)=a^4-b^4=x-2

Passo 3

Multiplicamos numerador e denominador pela expressão conjugada para obter

Passo 4

Agora fazemos xto2 no denominador. Como raiz[4]2=2^1/4, cada termo fica igual, somando quatro vezes (2^1/4)^3=2^3/4. Logo o denominador tende a 4,2^3/4.
Portanto o limite é 1/(4,2^3/4), que também coincide com a derivada de x^1/4 em x=2, já que f'(x)=tfrac14x^3/4.

Resposta

14,2^3/4

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