(9) Determine, se existir, os seguintes limites:
(lim _{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{2}}{x-2}\
(lim _{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{2}}{x-2}\
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
. O conteúdo envolvido é limites de funções que geram forma
e podemos usar a técnica de racionalização de raízes ou reconhecer a derivada de
em
.
Passo 2
Vamos usar racionalização: note que, para
e
, vale a identidade
Passo 3
Multiplicamos numerador e denominador pela expressão conjugada para obter
Passo 4
Agora fazemos
no denominador. Como
, cada termo fica igual, somando quatro vezes
. Logo o denominador tende a
.
Portanto o limite é , que também coincide com a derivada de
em
, já que
.
Portanto o limite é