Seja F(x, y, z)=(y z+x^2, x z+3 y^2, x y) um campo vetorial.
Determine se F é ou não um campo vetorial conservativo.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial F(x,y,z)=(P,Q,R)=(yz+x^2, xz+3y^2, xy). O conteúdo é teste de conservatividade de um campo em R^3, e vamos precisar usar o fato de que num domínio simplesmente conectado basta verificar se o rotacional de F é o vetor nulo.

Passo 2

Em R^3, um campo vetorial F=(P,Q,R) é conservativo se e somente se nablatimes F=0. Escrevendo
nablatimes F=l(partial Rpartial y-partial Qpartial z,;partial Ppartial z-partial Rpartial x,;partial Qpartial x-partial Ppartial yr), calculemos cada componente:
- partial Ppartial y=partialpartial y(yz+x^2)=z
- partial Qpartial x=partialpartial x(xz+3y^2)=z
- partial Ppartial z=partialpartial z(yz+x^2)=y
- partial Rpartial x=partialpartial x(xy)=y
- partial Qpartial z=partialpartial z(xz+3y^2)=x
- partial Rpartial y=partialpartial y(xy)=x

Passo 3

Como em cada caso as derivadas cruzadas coincidem, temos nablatimes F=(0,0,0). Portanto, F é conservativo no domínio inteiro R^3, que é simplesmente conectado.

Resposta

F é um campo vetorial conservativo ( nablatimes F=0 em R^3).

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