Seja
um campo vetorial.
Determine se
é ou não um campo vetorial conservativo.
Determine se
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
. O conteúdo é teste de conservatividade de um campo em
, e vamos precisar usar o fato de que num domínio simplesmente conectado basta verificar se o rotacional de
é o vetor nulo.
Passo 2
Em
, um campo vetorial
é conservativo se e somente se
. Escrevendo
-
-
-
-
-
-
Passo 3
Como em cada caso as derivadas cruzadas coincidem, temos
. Portanto,
é conservativo no domínio inteiro
, que é simplesmente conectado.
Resposta
F é um campo vetorial conservativo (
em
).